[论文解读] Infinitesimal Hilbertianity of locally CAT($\kappa$)-spaces

Simone Di Marino, Nicola Gigli+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 12

一句话总结

该论文证明了任意配备有在有界集上有限的正Radon测度的局部CAT(κ)度量测度空间均为无穷小Hilbert空间，即其Sobolev空间 $W^{1,2}$ 是Hilbert空间。证明通过将抽象的导子空间等距嵌入到空间的几何切丛中实现，利用CAT(0)空间中切锥的Hilbert类似结构，推导出Sobolev范数的平行四边形法则。

ABSTRACT

We show that, given a metric space $(Y,d)$ of curvature bounded from above in the sense of Alexandrov, and a positive Radon measure $\\mu$ on $Y$ giving finite mass to bounded sets, the resulting metric measure space $(Y,d,\\mu)$ is infinitesimally Hilbertian, i.e. the Sobolev space $W^{1,2}(Y,d,\\mu)$ is a Hilbert space. The result is obtained by constructing an isometric embedding of the `abstract and analytical' space of derivations into the `concrete and geometrical' bundle whose fibre at $x\\in Y$ is the tangent cone at $x$ of $Y$. The conclusion then follows from the fact that for every $x\\in Y$ such a cone is a CAT(0)-space and, as such, has a Hilbert-like structure.

研究动机与目标

• 建立在有界集上有限的Radon测度下，以局部CAT(κ)空间为模型的度量测度空间为无穷小Hilbert空间。
• 在非光滑度量空间中，弥合抽象分析（导子）与具体几何（切锥）之间的联系。
• 将无穷小Hilbert性从可分空间推广至一般（可能不可分）的局部CAT(κ)空间。
• 解决度量测度空间不同子集上Sobolev空间定义的一致性问题。

提出的方法

• 构建从抽象导子空间到度量空间上几何切丛的等距嵌入。
• 利用CAT(κ)空间中某点处的切锥为CAT(0)空间的事实，其具有Hilbert类似结构。
• 应用正常1-电流的叠加原理，将度量测度空间中的曲线与导子联系起来。
• 通过绝对连续曲线的重参数化技术，定义速度与微分对象。
• 通过可分子集的极限论证，将结果从可分空间推广至不可分空间。
• 利用Lindelöf性质和测度论正则性，确保平行四边形恒等式几乎处处关于μ成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在有界集上具有有限Radon测度的局部CAT(κ)度量测度空间是否都具有无穷小Hilbert空间结构的Sobolev空间？
• RQ2 度量测度空间中抽象的导子概念能否与空间的几何切丛结构进行自然对应？
• RQ3 CAT(0)空间中切锥的Hilbert类似结构如何影响Sobolev空间 $W^{1,2}$ 的全局Hilbert性质？
• RQ4 在不可分度量测度空间的不同可分子集中，$W^{1,2}$ 的定义是否一致？
• RQ5 在一般局部CAT(κ)空间上，$W^{1,2}$-范数的平行四边形恒等式是否几乎处处关于μ成立？

主要发现

• 对于任意配备有在有界集上有限的正Radon测度 $\nu$ 的局部CAT(κ)空间 $({ m Y},{ m d})$，其Sobolev空间 $W^{1,2}({ m Y},{ m d},\nu)$ 是Hilbert空间。
• 关键步骤是将导子空间等距嵌入到几何切丛中，其中每个纤维都与一个等距于CAT(0)空间的切锥同构。
• CAT(κ)空间中某点处的每个切锥都继承了Hilbert类似结构，使得Hilbert性质可被无穷小层面继承。
• 通过将不可分情形约化为具有紧支集且μ-边界可忽略的可分子集 $\bar{\Omega}$，该结果在不可分情形下依然成立。
• 通过局部限制到可分子集并应用叠加原理，证明了 $W^{1,2}$-范数的平行四边形恒等式几乎处处成立。
• 在此设定下，所有标准的度量测度空间中 $W^{1,2}$ 的定义（如Cheeger、Gigli、Di Marino）由于在可分子空间上的一致性而完全一致。