[论文解读] Injective Edge Chromatic Index of a Graph

Domingos M. Cardoso, Jorge Orestes Cerdeira+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文引入了单射边着色的概念，其中连续的三条边（构成长度为三的路径或环）的首尾边必须具有不同的颜色。本文确定了若干图类中单射边色数的精确值，推导了上下界，并证明了确定该色数的问题是NP-完全的，突显了其计算复杂性以及在建模分组无线电网络中二次干扰方面的实际相关性。

ABSTRACT

Three edges $e_{1}, e_{2}$ and $e_{3}$ in a graph $G$ are consecutive if they form a path (in this order) or a cycle of length three. An injective edge coloring of a graph $G = (V,E)$ is a coloring $c$ of the edges of $G$ such that if $e_{1}, e_{2}$ and $e_{3}$ are consecutive edges in $G$, then $c(e_{1}) eq c(e_3)$. The injective edge coloring number $χ_{i}^{'}(G)$ is the minimum number of colors permitted in such a coloring. In this paper, exact values of $χ_{i}^{'}(G)$ for several classes of graphs are obtained, upper and lower bounds for $χ_{i}^{'}(G)$ are introduced and it is proven that checking whether $χ_{i}^{'}(G)= k$ is NP-complete.

研究动机与目标

• 形式化并研究单射边着色这一新型边着色变体，其中连续的三条边 (e1,e2,e3) 必须满足 c(e1) ≠ c(e3)。
• 确定路径 Pn、环 Cn、完全图以及彼得森图等特定图族的单射边色数 χ′_i(G)。
• 为一般图中的 χ′_i(G) 建立上下界。
• 分析判定 χ′_i(G) = k 是否成立的计算复杂性。
• 展示单射边着色在建模分组无线电网络（PRNs）中二次干扰的应用性。

提出的方法

• 将单射边着色定义为一个着色函数 c:E(G)→C，使得对任意三条连续边 e1,e2,e3，均有 c(e1) ≠ c(e3)。
• 通过图的结构分析，推导出路径 Pn、环 Cn、完全二部图 Kp,q 以及彼得森图的 χ′_i(G) 的精确值。
• 引入 ω′EIC-图 的概念，其中 χ′_i(G) = ω′(G)，并提供实例。
• 通过将最大度为3的边着色问题（已知为NP-完全）经由一个基图 B 的图变换，归约为单射边着色问题，从而证明NP-完全性。
• 构造一个含5条边和4个顶点的装置图 B，用以强制实施颜色约束，确保原图 G 的有效 k-边着色对应于 G(B) 的有效 k-单射边着色。
• 利用变换 G → G(B) 证明 χ′(G) = χ′_i(G(B))，从而将边色数与单射边色数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径、环、完全图以及完全二部图的单射边色数 χ′_i(G) 是多少？
• RQ2 在哪些图类中，χ′_i(G) 等于最大度或图的大小？
• RQ3 一般图中 χ′_i(G) 的紧致上下界是什么？
• RQ4 对于给定的 k，判定 χ′_i(G) = k 是否成立的问题在计算上是否可行，还是NP-完全的？
• RQ5 单射边着色能否应用于建模并缓解分组无线电网络中的二次干扰？

主要发现

• χ′_i(Pn) = 2 对所有 n ≥ 4 成立。
• χ′_i(Cn) = 2 当且仅当 n ≡ 0 (mod 4)，否则为 3。
• 对于完全二部图，χ′_i(Kp,q) = min{p, q}。
• 彼得森图的 χ′_i(彼得森图) = 5，且在颜色置换意义下唯一。
• χ′_i(G) = 1 当且仅当 G 不包含三边路径或三边环。
• 判定 χ′_i(G) = k 的问题为NP-完全，通过从最大度为3的边着色问题归约证明。