[论文解读] Injective Envelopes of $C^*$-algebras as Operator Modules

Michael Frank, Vern I. Paulsen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文证明了酉 $C^*$-代数 $A$ 的内射包 $I(A)$ 不仅是一个内射算子系统，而且是极小的内射左（及右）算子 $A$-模，证明了 $I(A)$ 在完全有界 $A$-模映射下是刚性的。关键结果是：$A$ 的 $n$ 次迭代局部乘子代数可 $*$-同构地嵌入 $I(A)$，且 $I(A)$ 与任一此类局部乘子代数的内射包一致。

ABSTRACT

In this paper we give some characterizations of M. Hamana's injective envelope I(A) of a C*-algebra A in the setting of operator spaces and completely bounded maps. These characterizations lead to simplifications and generalizations of some known results concerning completely bounded projections onto C*-algebras. We prove that I(A) is rigid for completely bounded A-module maps. This rigidity yields a natural representation of many kinds of multipliers as multiplications by elements of I(A). In particular, we prove that the(n times iterated) local multiplier algebra of A embeds into I(A). Some remarks on local left/right/quasi multiplier algebras as subsets of I(A) are added.

研究动机与目标

• 在算子模和完全有界 $A$-模映射的范畴中，刻画 $C^*$-代数 $A$ 的内射包 $I(A)$。
• 将哈马纳关于完全正映射的刚性定理推广至完全有界 $A$-模映射的设定。
• 证明 $I(A)$ 在完全有界 $A$-模映射下是刚性的，从而可将乘子表示为 $I(A)$ 中元素的乘法算子。
• 证明 $A$ 的 $n$ 次迭代局部乘子代数可 $*$-同构地嵌入 $I(A)$，从而推广了关于乘子代数的已知结果。
• 证明 $I(A)$ 也是其局部乘子代数 $M_{\text{loc}}(A)$ 的内射包，从而有 $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ 对所有 $k \geq 1$ 成立。

提出的方法

• 使用一种对角线外的技巧，将 $I(A)$ 的子模上完全有界 $A$-模映射的研究，简化为矩阵拉伸上完全正映射的分析。
• 在特定算子系统 $\mathcal{S} \subset M_2(I(A))$ 上定义一个映射 $\Phi: \mathcal{S} \to M_2(I(A))$，该系统由 $A$、$E \subseteq I(A)$ 和 $\mathbb{C}$ 的元素构造而成，以扩展给定的完全有界 $A$-模映射 $\varphi: E \to I(A)$。
• 应用哈马纳的刚性定理以及矩阵代数上完全正映射的结构，推导出 $\varphi$ 由某个 $y \in I(A)$ 的右（或左）乘法实现，且满足 $\|y\| = \|\varphi\|_{cb}$。
• 利用扩展的唯一性与 $A$-模结构，证明 $I(A)$ 是内射左 $A$-模中的极小者。
• 应用通过 $I(A)$ 的刚性构造出的 $M_{\text{loc}}(A)$ 到 $I(A)$ 的 $*$-单同态，证明 $I(A)$ 同样是 $M_{\text{loc}}(A)$ 的内射包。
• 利用 $I(A)$ 是内射且包含 $A$ 作为 $C^*$-子代数的事实，推导出 $I(A)$ 是 $M_{\text{loc}}(A)$ 的唯一内射包，从而有 $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ 对所有 $k \geq 1$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $C^*$-代数 $A$ 的内射包 $I(A)$ 在完全有界 $A$-模映射下，刻画为极小的内射左（或右）算子 $A$-模？
• RQ2 $I(A)$ 在完全有界 $A$-模映射下的刚性是否允许将乘子表示为 $I(A)$ 中元素的乘法算子？
• RQ3 $A$ 的 $n$ 次迭代局部乘子代数是否可同构地嵌入 $I(A)$？
• RQ4 $I(A)$ 是否与 $M_{\text{loc}}(A)$ 的内射包一致，且更一般地，是否与 $I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$ 对所有 $k \geq 1$ 一致？
• RQ5 在何种条件下 $I(A)$ 与 $M_{\text{loc}}(A)$ 一致，或与 $A$ 在 $I(A)$ 中的正规单调完备化 $\overline{A}$ 一致？

主要发现

• 酉 $C^*$-代数 $A$ 的内射包 $I(A)$ 在完全有界 $A$-模映射下是刚性的：任何固定 $A$ 的此类映射在 $I(A)$ 上必为恒等映射。
• 对任意完全有界左（或右）$A$-模映射 $\varphi: E \to I(A)$，其中 $E \subseteq I(A)$ 是 $A$-不变子空间，存在某个 $y \in I(A)$ 使得 $\varphi$ 由右（或左）乘法实现，且满足 $\|y\| = \|\varphi\|_{cb}$。
• 局部乘子代数 $M_{\text{loc}}(A)$ 可 $*$-同构地嵌入 $I(A)$，且该嵌入可扩展至所有迭代局部乘子代数。
• $A$ 的内射包 $I(A)$ 同样是 $M_{\text{loc}}(A)$ 的内射包，因此对所有 $k \geq 1$ 有 $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$。
• 对交换酉 $C^*$-代数 $A$，有 $I(A)$ 与 $M_{\text{loc}}(A)$ $*$-同构；若 $A$ 包含紧算子 $K$，则 $I(A)$ 与 $B(H)$ $*$-同构。
• 通过酉化，结果可推广至非酉 $C^*$-代数：若 $B$ 是 $A$ 的酉化，则 $I(A) = I(B)$，且 $I(A)$ 仍是 $M_{\text{loc}}^{(k)}(A)$ 的内射包。