[论文解读] Integration of singular foliations via paths

Joel Villatoro, Alfonso Garmendia|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对奇异 foliation的基于路径的 fundamental 群丛和 holonomy 群丛的新构造方法，采用 $φ$-paths（时变向量场与其积分曲线的配对）在 $φ$-homotopy 下的等价类。关键贡献在于提出了一种微分群丛的表述，该表述恢复了 Androulidakis-Skandalis holonomy 群丛，并建立了函子性，与 Crainic-Fernandes 对李代数群丛的积分方法相一致。

ABSTRACT

We give a new construction of the holonomy and fundamental groupoids of a singular foliation. In contrast with the existing construction of Androulidakis and Skandalis, our method proceeds by taking a quotient of an infinite dimensional space of paths. This strategy is a direct extension of the classical construction for regular foliations and mirrors the integration of Lie algebroids via paths (per Crainic and Fernandes). In this way, we obtain a characterization of the holonomy and fundamental groupoids of a singular foliation that more clearly reflects the homotopic character of these invariants. As an application of our work, we prove that the constructions of the fundamental and holonomy groupoid of a foliation have functorial properties.

研究动机与目标

• 开发一种基于路径、受同伦启发的奇异 foliation 的 fundamental 群丛和 holonomy 群丛的构造方法。
• 提供一种与经典方法及 Crainic-Fernandes 积分方法相平行的构造，保持不变量的同伦性质。
• 在 foliated 流形之间的态射下，建立 fundamental 群丛构造的函子性。
• 证明 holonomy 群丛是 fundamental 群丛的商群，反映经典关系。
• 证明 leaf-wise fundamental 群丛与相关 Lie 代数群丛的源-单连通积分一致。

提出的方法

• 将 $φ$-paths 定义为配对 $(X(t), γ(t))$，其中 $X(t)$ 是奇异 foliation $φ$ 的时变截面，$γ(t)$ 是其积分曲线。
• 在 $φ$-paths 上引入 $φ$-homotopy 作为等价关系，将路径同伦推广至奇异 foliation 设置。
• 将 fundamental 群丛 $\Pi_1(\mathcal{F})$ 构造为 $φ$-paths 空间关于 $φ$-homotopy 的商空间。
• 将 holonomy 群丛 $\mathcal{H}(\mathcal{F})$ 定义为 $φ$-paths 空间关于 holonomy 等价关系的商空间，使用横截面上微分同胚的芽。
• 利用微分学处理无限维路径空间和奇异商空间，从而实现光滑群丛结构。
• 建立 fundamental 群丛到 holonomy 群丛的自然满射，反映两者之间的经典关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过类似于 Crainic-Fernandes 积分的路径-同伦方法，构造奇异 foliation 的 fundamental 和 holonomy 群丛？
• RQ2 $φ$-paths 上的 $φ$-homotopy 等价关系与奇异 foliation 中叶的 holonomy 有何关系？
• RQ3 在 foliated 流形之间的态射下，fundamental 群丛构造是否具有函子性？
• RQ4 所提出的基于路径的构造是否能产生一个微分同胚于 Androulidakis-Skandalis holonomy 群丛的微分群丛？
• RQ5 leaf-wise fundamental 群丛在多大程度上与相关 Lie 代数群丛的源-单连通积分一致？

主要发现

• fundamental 群丛 $\Pi_1(\mathcal{F})$ 被构造为 $φ$-paths 空间关于 $φ$-homotopy 的商空间，形成一个微分群丛。
• holonomy 群丛 $\mathcal{H}(\mathcal{F})$ 通过 $φ$-paths 在 holonomy 等价下的商空间，微分同胚于 Androulidakis-Skandalis 构造。
• holonomy 群丛同构于 fundamental 群丛关于“具有平凡 holonomy 的路径被识别”这一关系的商群。
• fundamental 群丛的构造是函子性的：给定一个 foliated 流形之间的态射 $(F,f)$，诱导映射 $\Pi_1(F,f)$ 保持单位元。
• 对于每个叶 $L$，$\mathcal{F}$ 限制在 $L$ 上的 fundamental 群丛同构于 Lie 代数群丛 $A_L \to L$ 的源-单连通积分。
• 沿子mersion $f$ 拉回 foliation 会诱导出诱导群丛态射的分解，从而通过分解为基空间和拉回情形，证明函子性。