[论文解读] Intrinsic flat and Gromov-Hausdorff convergence of manifolds with Ricci curvature bounded below

Rostislav Matveev, Jacobus W. Portegies|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于一系列具有下界 Ricci 曲率和一致有界直径的闭合、定向 Riemann 流形，内在平坦收敛与 Gromov-Hausdorff 收敛在方向反转意义下完全一致。关键结果是，极限积分电流由度量空间唯一确定，其重数为一，质量测度等于 Hausdorff 测度，从而解决了关于曲率下界与度量几何中收敛性之间相互作用的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We show that for a noncollapsing sequence of closed, connected, oriented Riemannian manifolds with Ricci curvature uniformly bounded from below and diameter uniformly bounded above, Gromov-Hausdorff convergence essentially agrees with intrinsic flat convergence.

研究动机与目标

• 研究在 Ricci 曲率下界条件下，Riemann 流形中内在平坦收敛与 Gromov-Hausdorff 收敛之间的关系。
• 确定此类序列的内在平坦极限是否由其底层度量空间唯一确定。
• 将 Sormani-Wenger 和 Munn 的先前结果从非负 Ricci 曲率推广至任意下界 Ricci 曲率。
• 证明极限电流的重数为一，且其质量测度等于极限空间上的 Hausdorff 测度。
• 建立极限空间上电流的局部常数性定理，从而推出局部上同调群与 ℤ 同构。

提出的方法

• 作者分析了 n 维、闭合、连通、定向 Riemann 流形的类 𝒪(n,Λ,v,D)，其 Ricci 曲率 ≥ −(n−1)Λ，体积 ≥ v > 0，直径 ≤ D。
• 他们使用 Ambrosio-Kirchheim 意义下的积分电流定义的内在平坦距离，以及度量空间的 Gromov-Hausdorff 距离。
• 关键技术涉及通过 (ε,R)-图和体积比较估计，将电流截面的度数与 Gromov-Hausdorff 近似联系起来。
• 他们应用 Lebesgue 微分定理，为密度比 ΔS/ΔT 定义精确代表元，确保其可测性及几乎处处常数性。
• 他们利用 Cheeger-Colding 理论研究 Ricci 曲率有下界的极限空间的结构，以控制正规集的正则性及球的连通性。
• 局部常数性证明依赖于：通过 Gromov-Hausdorff 近似和合适映射 Φ 的共同原像，证明度数比 ΔS/ΔT 在球上为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有下界 Ricci 曲率和一致有界直径的 Riemann 流形序列，内在平坦收敛是否与 Gromov-Hausdorff 收敛一致？
• RQ2 在 Gromov-Hausdorff 极限空间上，极限积分电流是否由度量结构唯一确定（至多方向反转）？
• RQ3 在这些曲率与体积下界约束下，极限电流的质量测度是否等于极限空间上的 Hausdorff 测度？
• RQ4 极限电流的重数是否几乎处处等于 1（关于 Hausdorff 测度）？
• RQ5 在任意球内，任意边界为零的积分电流 S 是否局部上与极限电流 T 的常数倍一致？

主要发现

• 从内在平坦闭包模方向反转的商空间到 Gromov-Hausdorff 闭包的映射是一个良定义的同胚，表明在给定曲率与体积下界约束下，两种收敛类型本质上是等价的。
• 极限电流 T 的正下密度集合等于整个极限空间 X，意味着 T 在 X 上完全支撑。
• 极限电流的质量测度 ‖T‖ 与 X 上的 n 维 Hausdorff 测度 ℋⁿ 一致。
• T 的重数在 X 上 ℋⁿ 几乎处处等于 1，意味着该电流是简单的，且无多重层叠结构。
• 对于极限空间中的任意点 q，以及任意在 q 的某球内边界为零的积分电流 S，S 在该球上必为 T 的常数倍，从而确认了电流结构的局部常数性。
• 极限电流由底层度量空间唯一确定（至多方向反转），无需额外的几何或测度论数据。