[论文解读] Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds with Ricci curvature bounded below, II

Gang Liu, Gábor Székelyhidi|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 54被引用 11

一句话总结

该论文证明了在 Ricci 曲率下有界的 Kähler 流形的非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限的切锥同胚于具有环面作用的正规仿射代数簇，且该环面作用扩展了相似缩放。关键进展在于在切锥上建立 $ L^2 $-估计以构造全纯函数，将 Donaldson-Sun 的结果从极化情形推广至非极化情形。

ABSTRACT

We study non-collapsed Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds with Ricci curvature bounded below. Our main result is that each tangent cone is homeomorphic to a normal affine variety. This extends a result of Donaldson-Sun, who considered non-collapsed limits of polarized Kähler manifolds with two-sided Ricci curvature bounds.

研究动机与目标

• 将 Donaldson-Sun 在极化 Kähler 流形中关于切锥代数结构的结果，推广至在 Ricci 曲率下有界条件下的非极化情形。
• 证明在 Ricci 曲率下有界的 Kähler 流形的非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限中，切锥同胚于正规仿射代数簇。
• 证明在双侧 Ricci 曲率有界下，切锥的全纯谱是刚性的，即使在无极化条件下亦然。
• 证明在切锥处的体积比为代数数，从而在度量几何中提供一个新不变量。

提出的方法

• 通过在收敛于切锥的光滑 Kähler 流形上构造近似 $ L^2 $-估计，证明切锥上 Hörmander 的 $ L^2 $-估计的一个版本。
• 利用全纯向量场及其流的收敛性，在切锥上构造极限全纯微分同胚作用，将相似缩放扩展为环面作用。
• 利用环面作用构造在切锥上具有多项式增长的齐次全纯函数，从而实现其到 $ bC^N $ 的嵌入。
• 证明该嵌入下的切锥像是一个闭代数子簇，从而证明其为正规仿射代数簇。
• 利用切锥空间的连通性及全纯谱的代数性，证明在双侧 Ricci 有界下谱的刚性。
• 利用体积比 $ V_{2n}^{-1} ext{Vol}(B(o,1)) $ 为代数数这一事实，该结果源自切锥的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Ricci 曲率下有界的 Kähler 流形的非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限中，切锥的复结构能否被扩展以赋予其代数结构？
• RQ2 在无极化条件下，切锥的全纯谱是否在双侧 Ricci 曲率有界下仍保持刚性？
• RQ3 切锥上的相似缩放能否通过全纯函数扩展为线性环面作用？
• RQ4 在 Ricci 曲率下有界设定下，切锥处的体积比是否为代数数？
• RQ5 能否在不假设双侧 Ricci 有界的情况下，通过光滑极限的逼近在切锥上建立 $ L^2 $-估计？

主要发现

• 任意一个在 Ricci 曲率下有界的 Kähler 流形的非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限的切锥，同胚于一个正规仿射代数簇。
• 在将切锥适当嵌入 $ bC^N $ 后，其上的相似作用可扩展为线性环面作用，且保持代数结构。
• 在双侧 Ricci 曲率有界下，某一点所有切锥的全纯谱完全相同，证明了谱的刚性。
• 每个切锥的体积比 $ V_{2n}^{-1} ext{Vol}(B(o,1)) $ 为代数数，从而在度量几何中提供一个新不变量。
• 通过光滑流形的逼近，在切锥上建立了 $ L^2 $-估计，使得无需依赖序列中全纯函数的极限，即可构造全纯函数。
• 某点处切锥空间是连通的，且全纯谱由代数数构成，这表明在双侧有界下谱具有刚性。