[论文解读] Invariant connections with skew-torsion and $ abla$-Einstein manifolds

Ioannis Chrysikos|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文研究了紧致李群及其自然约化齐次空间（特别是六球面 S⁶ 和七球面 S⁷）上具有反对称扭率的不变仿射联络，表明其 G₂- 和 Spin(7)- 不变量联络构成一个单参数族 ∇^α。关键贡献在于证明：任何紧致单连通的等 isotropy 不可约标准齐次黎曼流形（非 I 型对称空间）对所有 α ∈ ℝ 均为 ∇^α-Einstein，通过卡西米尔算子将爱因斯坦条件推广至具有反对称扭率的度量联络。

ABSTRACT

For a compact connected Lie group $G$ we study the class of bi-invariant affine connections whose geodesics through $e\in G$ are the 1-parameter subgroups. We show that the bi-invariant affine connections which induce derivations on the corresponding Lie algebra $\frak{g}$ coincide with the bi-invariant metric connections. Next we describe the geometry of a naturally reductive space $(M=G/K, g)$ endowed with a family of $G$-invariant connections $ abla^α$ whose torsion is a multiple of the torsion of the canonical connection $ abla^{c}$. For the spheres ${ m S}^{6}$ and ${ m S}^{7}$ we prove that the space of ${ m G}_2$ (resp. ${ m Spin}(7)$)-invariant affine or metric connections consists of the family $ abla^α$. Then we examine the "constancy" of the induced Ricci tensor ${ m Ric}^α$ and prove that any compact simply-connected isotropy irreducible standard homogeneous Riemannian manifold, which is not a symmetric space of Type I, is a $ abla^α$-Einstein manifold for any $α\in\mathbb{R}$. We also provide examples of $ abla^{\pm 1}$-Einstein structures for a class of compact homogeneous spaces $M=G/K$ with two isotropy summands.

研究动机与目标

• 对紧致连通李群 G 上的双不变仿射联络进行分类，要求其在李代数 𝔤 上诱导导子，并满足 Λ(X)X = 0。
• 刻画齐次空间 M = G/K 上的 G-不变联络，其扭率与典型联络 ∇^c 的扭率成比例。
• 研究具反对称扭率的度量联络下，紧致自然约化流形上的 ∇^α-Einstein 结构（爱因斯坦度量的推广）。
• 通过卡西米尔元分析，确定此类流形何时存在 ∇^α-Einstein 结构。
• 在具有两个等 isotropy 分量的旗流形上，提供 ∇^α-Einstein 结构的显式例子，包括 CP³ 及经典群的伴随轨道。

提出的方法

• 推导出将等变导子 D: 𝔤 → Der(𝔤) 与满足 Λ(X)X = 0 的双不变联络的扭率和曲率相联系的公式。
• 利用表示论证明：S⁶ = G₂/SU(3) 上的 G₂-不变仿射联络空间为二维（α ∈ ℂ），而 S⁷ = Spin(7)/G₂ 上的 Spin(7)-不变联络构成一维族（∇^α，α ∈ ℝ）。
• 将 ∇^α 定义为 M = G/K 上的 G-不变联络，其扭率 T^α = α·T^c，其中 T^c 为典型联络 ∇^c 的扭率。
• 分析对称里奇张量 Ric_S^α 和数量曲率 Scal^α，以定义满足 Ric_S^α = (Scal^α / n)·g 的 ∇^α-Einstein 结构。
• 应用卡西米尔元理论刻画等 isotropy 不可约空间上的 ∇^α-Einstein 条件，将问题约化为在等 isotropy 表示上的本征值方程。
• 在旗流形上使用基灵度量 g_B，确定当 d₁ = 2d₂ 时 g_B 为爱因斯坦度量，从而确定 ∇^s-Einstein 结构在 s = 0, 2 时存在的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致李群 G 上，哪些双不变仿射联络在 𝔤 上诱导导子并满足 Λ(X)X = 0？它们与双不变度量联络有何关系？
• RQ2 S⁶ 和 S⁷ 上的 G₂-不变或 Spin(7)-不变仿射（或度量）联络的空间结构是怎样的？
• RQ3 在何种条件下，紧致单连通的等 isotropy 不可约标准齐次黎曼流形（非 I 型对称空间）对所有 α ∈ ℝ 均为 ∇^α-Einstein？
• RQ4 对于具有两个等 isotropy 分量的旗流形 M = G/K，基灵度量在何种情况下为爱因斯坦度量？∇^s-Einstein 结构在 s = 0, 2 时何时存在？
• RQ5 如何通过等 isotropy 表示中的卡西米尔元代数刻画 ∇^α-Einstein 条件？

主要发现

• 在 𝔤 上诱导导子并满足 Λ(X)X = 0 的双不变仿射联络类，恰好与双不变度量联络类一致。
• 在 S⁶ = G₂/SU(3) 上，G₂-不变仿射联络空间为二维（α ∈ ℂ）；在 S⁷ = Spin(7)/G₂ 上，Spin(7)-不变仿射联络空间为一维（α ∈ ℝ）。
• 任何紧致单连通的等 isotropy 不可约标准齐次黎曼流形（非 I 型对称空间）对所有 α ∈ ℝ 均为 ∇^α-Einstein。
• 对于具有两个等 isotropy 分量的旗流形，当且仅当 d₁ = 2d₂ 时存在 ∇^s-Einstein 结构，其中 d₁, d₂ 为分量的维数。
• 例子包括 SO(5)/U(2)、SO(11)/U(4)×SO(3)、Sp(5)/U(3)×Sp(2) 和 SO(20)/U(7)×SO(6)，它们均对 s = 0, 2 存在 ∇^s-Einstein 结构。
• CP³ = SO(5)/U(2) 上的典型联络 ∇^0,1/2 对应于已知的近乎凯勒特征联络，而 ∇^2,1/2 结构是具反对称扭率的新 ∇^s-Einstein 例子。