[论文解读] Invariant measures of reflected stochastic delay differential equations with jumps

Lijun Bo, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文在系数满足单调性条件的前提下，证明了带跳的多维反射随机延迟微分方程存在且唯一地具有平稳分布（不变测度）。通过在斯科罗霍德空间上的马尔可夫半群，证明了收敛到唯一的不变测度，并在平稳状态下通过调节器-本地时间关系刻画了本地时间的长期行为。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of multi-dimensional reflected stochastic delay differ- ential equations with jumps. Based on the existence and uniqueness of the strong solution to the equation, we prove that the Markov semigroup generated by the segment process corresponding to the solution admits a unique invariant measure on the Skorohod space when the coefficients of equation satisfy a class of monotone conditions. Finally, we establish a relationship between the regulator and the local time of the solution and discuss a local time property at large time under the stationary setting .

研究动机与目标

• 建立带跳的多维反射随机延迟微分方程的强解的存在性与唯一性。
• 证明由段过程生成的马尔可夫半群在斯科罗霍德空间上存在唯一的不变测度。
• 研究解的长期行为，特别是平稳状态下调节器与本地时间之间的关系。
• 分析此类反射过程在平稳状态下的本地时间渐近性质。

提出的方法

• 在反射随机延迟方程的系数上使用单调性条件，以确保强解的存在性与唯一性。
• 将解的段过程视为斯科罗霍德空间中右连左极路径上的马尔可夫过程进行分析。
• 应用泛函分析技术，证明与段过程相关的马尔可夫半群存在不变测度。
• 通过路径分解方法，建立调节器过程与解的本地时间之间的关系。
• 运用遍历理论与鞅方法，研究在不变测度下本地时间的长期行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由带跳的反射随机延迟SDE的段过程生成的马尔可夫半群在斯科罗霍德空间上存在唯一的不变测度？
• RQ2 在平稳状态下，解的本地时间与调节器过程之间有何关系？
• RQ3 在不变测度下，当时间趋于无穷时，本地时间的渐近性质是什么？
• RQ4 解的长期行为能否通过调节器与本地时间过程之间的相互作用来刻画？

主要发现

• 在假设的单调系数条件下，带跳的反射随机延迟SDE的强解存在且唯一。
• 由段过程生成的马尔可夫半群在右连左极路径的斯科罗霍德空间上存在唯一的不变测度。
• 建立了调节器过程与解路径的本地时间之间精确的关系。
• 在平稳状态下，本地时间表现出有明确定义的长期行为，其由不变测度与调节器结构所刻画。