[论文解读] Inverse Estimation of Elastic Modulus Using Physics-Informed Generative Adversarial Networks

James E. Warner, Julian Cuevas+3 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出一种物理信息生成对抗网络（PI-GAN），用于仅通过变形测量反演固体力学中空间变化的弹性模量。通过将线弹性PDE及其边界条件作为可微分损失项嵌入带梯度惩罚的Wasserstein GAN中，该方法在无直接观测的情况下学习潜在的刚度分布，仅使用100个配点和100组测量数据即可实现与真实值在均值、标准差、相关长度等统计特性上的高精度一致。

ABSTRACT

While standard generative adversarial networks (GANs) rely solely on training data to learn unknown probability distributions, physics-informed GANs (PI-GANs) encode physical laws in the form of stochastic partial differential equations (PDEs) using auto differentiation. By relating observed data to unobserved quantities of interest through PDEs, PI-GANs allow for the estimation of underlying probability distributions without their direct measurement (i.e. inverse problems). The scalable nature of GANs allows high-dimensional, spatially-dependent probability distributions (i.e., random fields) to be inferred, while incorporating prior information through PDEs allows the training datasets to be relatively small. In this work, PI-GANs are demonstrated for the application of elastic modulus estimation in mechanical testing. Given measured deformation data, the underlying probability distribution of spatially-varying elastic modulus (stiffness) is learned. Two feed-forward deep neural network generators are used to model the deformation and material stiffness across a two dimensional domain. Wasserstein GANs with gradient penalty are employed for enhanced stability. In the absence of explicit training data, it is demonstrated that the PI-GAN learns to generate realistic, physically-admissible realizations of material stiffness by incorporating the PDE that relates it to the measured deformation. It is shown that the statistics (mean, standard deviation, point-wise distributions, correlation length) of these generated stiffness samples have good agreement with the true distribution.

研究动机与目标

• 解决固体力学中的反问题，其中空间变化的弹性模量不可观测，且不与PDE解函数相关。
• 开发一种可扩展、数据高效的高维材料属性随机场学习方法，仅依赖有限的变形测量数据。
• 通过自动微分与残差惩罚，将物理定律（线弹性PDE及边界条件）直接整合到GAN训练过程中。
• 展示PI-GAN在真实固体力学背景下估计材料属性分布的可行性与准确性。
• 验证该方法在不同数量位移传感器与域内配点条件下的鲁棒性。

提出的方法

• 采用双流前馈深度神经网络生成器，在2D域内同时建模位移场与空间变化的弹性模量。
• 在带梯度惩罚的Wasserstein GAN（WGAN-GP）框架中训练生成器，以提升训练稳定性并缓解模式崩溃。
• 利用自动微分计算线弹性方程的PDE残差，并在域内各配点处作为独立损失项施加。
• 通过法向量计算应力力，将Neumann边界条件显式编码为域边界处的附加损失项。
• 判别器被训练以区分真实变形数据与生成样本，而生成器则通过最小化对抗损失与物理相关损失联合优化。
• 损失函数结合了对抗损失、PDE残差损失与边界条件损失，实现无需弹性模量直接观测的端到端训练。

实验结果

研究问题

• RQ1 当缺乏弹性模量的直接测量时，PI-GAN能否准确估计空间变化的弹性模量分布？
• RQ2 位移传感器的数量如何影响估计刚度分布的准确性？
• RQ3 达到弹性模量场准确推断所需的最少配点数量是多少？
• RQ4 生成的刚度样本的统计特性（均值、标准差、相关长度）与真实分布的匹配程度如何？
• RQ5 结合物理约束的WGAN-GP框架能否为固体力学中高维、随机的反问题提供稳定可靠的训练？

主要发现

• PI-GAN在无任何材料属性直接观测的情况下，成功生成了符合物理规律的弹性模量场实现。
• 生成的刚度样本在均值、标准差、点对点分布及相关长度方面与真实分布表现出高度一致。
• 当使用100组位移测量与100个配点时，估计模量的相对L2误差足够低，表明实现了准确推断。
• 当测量数量固定为1000组时，仅需50个配点即可获得准确估计，体现出优异的数据效率。
• 相对L2误差并未随测量数量或配点数量的增加而严格减小，表明存在训练变异性，需进一步调整超参数。
• 本工作首次将PI-GAN应用于固体力学领域，以及未知量不可观测且不与PDE解函数相关的反问题。