[论文解读] Involutions on pro-$p$-Iwahori Hecke algebras

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在正特征域上计算了两个关键代数对合——$ζ$（反对合）和$ι$（对合）——在pro-$p$-Iwahori Hecke代数的单模上的作用。通过三步分类法：Parabolic诱导、广义Steinberg模与超奇异模，确定了单模$π$的扭模$π^{\iota}$与对偶模$π^{*}$，其中最困难的情形通过细致的辫子关系与二次关系得以解决。关键结果是给出了一个显式同构，将对偶模与扭模以对偶参数和对边Parabolic子群的形式分类。

ABSTRACT

The pro-$p$-Iwahori Hecke algebra has an involution $ι$ defined in terms of Iwahori-Matsumoto basis. Then for a module $π$ of pro-$p$-Iwahori Hecke, $π^ι= π\circ ι$ is also a module. We calculate $π^ι$ for simple modules $π$. We also calculate the dual of $π$.

研究动机与目标

• 计算在特征为$p$的域上，pro-$p$-Iwahori Hecke代数的单模上对合$ι$的作用。
• 在相同设定下，确定单模$π$的对偶模$π^{*}$。
• 通过分析$ι$与$ζ$作用下的模结构，拓展$G$在正特征域上的表示理论。
• 为计算单模之间的扩张提供基础数据，作为表示理论更广泛计划的一部分。

提出的方法

• 使用Iwahori-Matsumoto基$π = \{T_w\}_{w\in W(1)}$，通过$T_w \mapsto (-1)^{\ell(w)}T_w^{*}$定义对合$ι$，其中$T_w^{*}$为对偶基。
• 应用由$T_w \mapsto T_{w^{-1}}$定义的反对合$ζ$，以定义对偶模$\pi^{*} = \mathrm{Hom}_C(\pi, C)$，其作用为$(fX)(v) = f(v\zeta(X))$。
• 通过三步分类单模：Parabolic诱导、广义Steinberg模（最复杂）、超奇异模，利用pro-$p$ Weyl群$W(1)$与反射数据的结构。
• 在Hecke代数中运用辫子关系与二次关系计算模的扭，特别是通过负代数与扩张函子的细致分析，处理广义Steinberg模。
• 利用Weyl群元素（如$n_{w_G w_P}$）的伴随作用，将对边Parabolic子群上的模关联起来，并建立扭模与对偶模之间的同构。
• 应用拉回构造与扩张函子$j_{Q}^{P-*}$的相容性，将$\pi^{*}$与对边Parabolic子群上具有对偶参数的模关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基域具有特征$p$时，对合$\iota$在pro-$p$-Iwahori Hecke代数的单模上如何作用？
• RQ2 在pro-$p$-Iwahori Hecke代数上，单模$\pi$的对偶模$\pi^{*}$的结构是什么？
• RQ3 对合$\iota$在广义Steinberg模上的作用与在Parabolic诱导模及超奇异模上的作用相比有何异同？
• RQ4 能否以对边Parabolic子群上具有对偶参数的模来表达单模的对偶？
• RQ5 在对合与对偶作用下，$I(P;\chi,J,V;Q)^{*}$与$I(P';\chi',J',V';Q')$之间存在何种关系？

主要发现

• 对于单模$\pi = I(P;\chi,J,V;Q)$，扭模$\pi^{\iota}$同构于$I(P;\chi^{-1},J,V^{*};Q)$，其中$V^{*}$为对偶表示，$\chi^{-1}$为逆特征标。
• 对偶模$\pi^{*}$同构于$I(P';\chi',J',V';Q')$，其中$P' = n_{w_G w_P} P^{\mathrm{op}} n_{w_G w_P}^{-1}$，$Q' = n_{w_G w_Q} Q^{\mathrm{op}} n_{w_G w_Q}^{-1}$，且$(\chi',J',V')$为$(\chi^{-1},J,V^{*})$沿$n_{w_G w_P}$的拉回。
• 广义Steinberg模的$\pi^{\iota}$计算是最具技术性的部分，依赖于对负代数与扩张函子相容性的细致分析。
• 对偶性结果通过Weyl群元素的伴随作用建立，该作用诱导出同构$\mathrm{St}_Q^{P}(\sigma)^{*} \simeq \mathrm{St}_{Q'}^{P'}(n_{w_G w_P} \sigma^{*})$。
• 同构$I(P;\chi,J,V;Q)^{*} \simeq I(P';\chi',J',V';Q')$成立，原因在于负代数与扩张函子在$n_{w_G w_P}$共轭下的相容性。
• 结果与pro-$p$ Weyl群$W(1)$的结构及$W$对$Z_\kappa$的作用一致，确保参数变换是良定义的，并保持模结构。