[论文解读] Irreducible representations of rational Cherednik algebras for exceptional Coxeter groups, Part I

Emily Norton|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文计算了在 $c = 1/d$ 时，对于例外考克斯eter 群 $W = H_4$、$E_6$、$E_7$、$F_4$（等参数）及 $E_8$ 的有理谢雷德尼克代数 $H_c(W)$ 的分解矩阵，其中 $d$ 整除 $W$ 的一个基本次数且 $d \neq 2$。研究发现，这些分解矩阵可作为有限李型群 $G(q)$ 的单值块在非定义特征标下的分解矩阵中的方阵子矩阵被嵌入，揭示了有理谢雷德尼克代数表示理论与非定义特征标下模表示理论之间深刻的联系。

ABSTRACT

This paper and its sequel describe the irreducible representations of the rational Cherednik algebra $H_c(W)$ for a finite Coxeter group $W$ of type $H_4$, $F_4$ with equal parameters, $E_6$, $E_7$, and $E_8$, when $c$ is not a half-integer. Herein appear the decomposition matrices of Category $\mathcal{O}_c(W)$ for $W=H_4$, $E_6$, and $E_7$, as well as a classification of finite-dimensional representations of $H_c(W)$ for these groups and for $H_c(F_4)$ with equal parameters.

研究动机与目标

• 确定例外考克斯eter 群 $W = H_4$、$E_6$、$E_7$、$F_4$ 和 $E_8$ 在 $c = 1/d$ 时，$d$ 整除一个基本次数且 $d \neq 2$ 的范畴 $\mathcal{O}_c(W)$ 的分解矩阵。
• 对这些群的 $H_c(W)$ 的有限维不可约表示进行分类。
• 建立有理谢雷德尼克代数的分解矩阵与非定义特征标下有限李型群 $G(q)$ 的单值块的分解矩阵之间的结构与数值关联。
• 提出一个猜想，将 $H_c(W)$ 中的分解数与 $\ell \mid \Phi_d(q)$ 时 $G(q)$-块中的分解数联系起来。

提出的方法

• 利用 KZ 函子 $\operatorname{KZ}: \mathcal{O}_c(W) \to \mathcal{H}_q(W)$-mod，该函子将 $\mathcal{O}_c(W)$ 中的模映射到 $q = e^{2\pi i c}$ 处的 Hecke 代数模，保持分解数据不变。
• 从已知的 Hecke 代数 $\mathcal{H}_q(W)$ 在 $q = e^{2\pi i c}$ 处的分解矩阵出发，如 [GJ] 中所列，并通过与符号表示张量积来调整行与列，使其与 $H_c(W)$-模的标签对齐。
• 利用 KZ 函子的性质：删除对应于支持不足的不可约表示的列，通过诱导与限制操作重新添加条目，从而恢复 $H_c(W)$ 块的完整分解矩阵。
• 利用不可约表示上的 $\mathfrak{sl}_2$-模结构：有限维性意味着 $h_c(\tau) \in \mathbb{Z}_{\leq 0}$，从而对可能的最低权施加约束。
• 使用引理 (E)、(Symm)、(dim Hom) 和 (RR) 计算分解矩阵中缺失的条目，特别是针对缺陷为 1 的块。
• 通过缺陷分析块：缺陷为 0 的块是单元素；缺陷为 1 的块具有唯一一个支持不足的不可约表示，其分解矩阵具有三对角结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $W = H_4$、$E_6$、$E_7$、$F_4$ 和 $E_8$ 且 $c = 1/d$ 时，$d$ 整除一个基本次数且 $d \neq 2$ 的 $\mathcal{O}_c(W)$ 的分解矩阵是什么？
• RQ2 哪些 $H_c(W)$ 的不可约表示是有限维的，它们的维数是多少？
• RQ3 有理谢雷德尼克代数的分解矩阵与有限李型群 $G(q)$ 的单值块的分解矩阵之间有何关系，其中 $\ell \mid \Phi_d(q)$？
• RQ4 $H_c(W)$ 的分解矩阵是否可作为 $\ell \gg 0$ 时 $G(q)$-块分解矩阵的子矩阵被嵌入？
• RQ5 在 $H_c(W)$ 与 $G(q)$-块之间是否存在一般性的数值关系，特别是关于下界？

主要发现

• 计算并列出了 $W = H_4$、$E_6$ 和 $E_7$ 在 $c = 1/d$ 时，$d$ 整除一个基本次数且 $d \neq 2$ 的 $\mathcal{O}_c(W)$ 的分解矩阵。
• 对于 $W = H_4$、$F_4$、$E_6$、$E_7$ 和 $E_8$，本文在 $c = 1/d$ 且 $d$ 整除一个基本次数时，对 $H_c(W)$ 的所有有限维不可约表示进行了分类。
• 在所有计算案例中（包括 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ 在 $c = 1/4$ 时），$H_c(W)$ 的分解矩阵可作为 $G(q)$ 的单值块在 $\ell \mid \Phi_d(q)$ 时的分解矩阵中的方阵子矩阵被嵌入。
• $H_c(W)$ 的分解矩阵通过其逆矩阵提供了所有不可约表示的特征标，该逆矩阵编码了 Verma-旗重数 $[L(\tau) : M(\sigma)]$。
• 对于缺陷为 1 的块，任何不可约表示的 Verma-分解由其权重线上右侧 Verma 模的交错和给出，此结论由 Rouquier 证明。
• 本文提出一个猜想：$H_c(W)$ 中的分解数 $[M(\tau) : L(\sigma)]$ 是 $G(q)$-块中对应分解数的下界，其中标签为 $\tau \otimes \mathrm{sgn}$ 和 $\sigma \otimes \mathrm{sgn}$，该猜想在 $A_n$、$B_n$ 和例外型中已有证据支持。