[论文解读] Is Cheeger-type Approximation Possible for Nonuniform Sparsest Cut?

Luca Trevisan|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文研究了在非均匀稀疏割问题中，是否可能实现类似Cheeger的近似——即在稀疏割稀疏度上达到 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $ 的界。研究证明，在一般情况下，通过谱方法、Leighton-Rao线性规划或Goemans-Linial半定规划松弛方法均无法实现此类近似，但当 $ H $ 为秩-1图时，可通过Goemans-Linial半定规划实现该近似；当 $ H $ 为单条边（即最小 $ s $-$ t $-割）时，几乎线性时间的类似Cheeger近似也是可行的。

ABSTRACT

In the {\em nonuniform sparsest cut} problem, given two undirected graphs $G$ and $H$ over the same set of vertices $V$, we want to find a cut $(S,V-S)$ that minimizes the ratio between the fraction of $G$-edges that are cut and the fraction of $H$-edges that are cut. The ratio (which is at most 1 in an optimal solution) is called the {\em sparsity} of the cut. In the {\em uniform sparsest cut} problem, $H$ is a clique over $V$. If $G$ is regular, it is possible to find a solution to the uniform sparsest cut of cost $O(\sqrt{opt})$ in nearly linear time. Is such an approximation, which we call "Cheege-type" approximation, achievable in the non-uniform case? We show that the answer is negative, assuming the Unique Games Conjecture, for general H. Furthermore, the Leighton-Rao linear programming relaxation and the spectral relaxation fail to find such an approximation even if $H$ is a clique over a subset of vertices. Using semidefinite programming, however, we can find Cheeger-type approximations in polynomial time whenever the adjacency matrix of $H$ has rank 1. (This includes the cases in which $H$ is a clique over a subset of vertices.)

研究动机与目标

• 确定是否可在非均匀稀疏割问题中实现类似Cheeger的近似——$ O(\sqrt{\text{opt}}) $。
• 分析标准松弛方法（谱方法、Leighton-Rao、Goemans-Linial半定规划）在实现此类近似方面的局限性。
• 识别在一般不可行的情况下，哪些结构条件仍能使类似Cheeger的近似保持可行。
• 探索特殊情况下（如最小 $ s $-$ t $-割问题）几乎线性时间算法的可行性。
• 建立类似Cheeger近似与唯一游戏猜想之间的联系。

提出的方法

• 证明对于任意 $ \varepsilon > 0 $，区分 $ \text{opt} = 1/2 $ 与 $ \text{opt} = \varepsilon $ 是唯一游戏难题，意味着 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $ 近似不可行。
• 构建从非均匀稀疏割到该问题的归约，表明任何 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $-近似算法都将推翻唯一游戏猜想。
• 分析Goemans-Linial半定规划松弛，证明即使 $ \text{opt} = 1/2 $，其最优值也可能为 $ o(1) $，从而排除 $ \Omega(\sqrt{\text{sdp}}) $ 类型的界。
• 证明谱方法与Leighton-Rao松弛即使在 $ H $ 为团图或秩-1图时，也无法实现类似Cheeger的近似。
• 提出一种新颖的Goemans-Linial半定规划舍入技术，当 $ H $ 为秩-1图时，可实现类似Cheeger的近似。
• 将几乎线性时间的谱方法应用于 $ s $-$ t $-割情形，证明可找到 $ O(1/\sqrt{\varepsilon}) $-近似割，其中 $ \varepsilon $ 为最优流值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般非均匀稀疏割问题中，是否可实现类似Cheeger的近似——$ O(\sqrt{\text{opt}}) $？
• RQ2 谱方法、Leighton-Rao或Goemans-Linial半定规划等标准松弛方法在非均匀情形下能否实现类似Cheeger的近似？
• RQ3 在何种结构条件下，即使在一般情况下不可行，类似Cheeger的近似仍可实现？
• RQ4 是否存在一种几乎线性时间算法，可对最小 $ s $-$ t $-割问题实现类似Cheeger的近似？
• RQ5 类似Cheeger的近似与唯一游戏猜想之间存在何种关系？

主要发现

• 对于一般非均匀稀疏割问题，类似Cheeger的近似不可行：区分 $ \text{opt} = 1/2 $ 与 $ \text{opt} = \varepsilon $ 对于任意 $ \varepsilon > 0 $ 均为唯一游戏难题。
• Goemans-Linial半定规划松弛无法实现 $ \Omega(\sqrt{\text{sdp}}) $ 类型的界，因为存在实例满足 $ \text{opt} = 1/2 $ 但 $ \text{sdp} = o(1) $。
• 谱方法与Leighton-Rao松弛即使在 $ H $ 为团图或秩-1图时，也无法实现类似Cheeger的近似。
• 当 $ H $ 为秩-1图时，可通过Goemans-Linial半定规划舍入实现类似Cheeger的近似。
• 对于 $ s $-$ t $-割问题（即 $ H $ 为单条边），几乎线性时间的类似Cheeger近似是可行的：当最优流值为总容量的 $ \varepsilon $ 倍时，可找到容量为总容量 $ O(\sqrt{\varepsilon}) $ 倍的割。
• 任何多项式时间的 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $-近似算法若能解决非均匀稀疏割问题，将推翻唯一游戏猜想。