[论文解读] Isolation of cuspidal spectrum, with application to the Gan--Gross--Prasad conjecture

Raphaël Beuzart-Plessis, Yifeng Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新颖的技术，通过在adele群的Schwartz代数上使用乘子，来在迹公式的谱侧分离特定的cuspidal自守表示。通过将该方法应用于Jacquet–Rallis相对迹公式，作者们在单位群 $\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ 的稳定情形下完成了Gan–Gross–Prasad猜想及其改进形式Ichino–Ikeda猜想的证明。

ABSTRACT

We introduce a new technique for isolating components on the spectral side of the trace formula. By applying it to the Jacquet--Rallis relative trace formula, we complete the proof of the global Gan--Gross--Prasad conjecture and its refinement Ichino--Ikeda conjecture for $\mathrm{U}(n) imes\mathrm{U}(n+1)$ in the stable case.

研究动机与目标

• 开发一种在迹公式的谱侧分离特定cuspidal自守表示的一般方法。
• 克服长期以来在不分析整个 $L^2$-谱的情况下访问单个cuspidal分量的困难。
• 将新的分离技术应用于Jacquet–Rallis相对迹公式，以解决稳定情形下的全局Gan–Gross–Prasad猜想。
• 通过这种新的谱分离方法，建立 $\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ 的Ichino–Ikeda猜想。

提出的方法

• 作者在Schwartz卷积代数 $\mathcal{S}(G(\mathbb{A}_F))_K$ 上构造乘子，该乘子通过右正则表示在 $L^2$-谱上连续作用。
• 他们定义了一个乘子 $\mu\star$，该乘子与左右卷积都可交换，从而能在保持对指定不可约适定表示 $\pi$ 的作用的同时，消除所有其他非cuspidal分量的作用。
• 该构造依赖于全纯乘子函数，并通过傅里叶变换和算子值傅里叶分析将其扩展到Schwartz代数。
• 该方法利用分解 $G^0 = Z^0 \times G^0_{\mathrm{der}}$，通过中心与导出群上函数的张量积构造乘子，利用了关于Schwartz函数及其傅里叶变换的已知结果。
• 关键的技术工具是使用 $\mathcal{N}(\mathfrak{h}^*_{\mathbb{C}})^\mathsf{W}$-值乘子，以控制对给定 $\pi$-同调分量的谱投影。
• 通过使用闭图像定理和Schwartz函数上傅里叶变换的单射性，利用对偶性和连续性论证将构造扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可能在不访问整个 $L^2$-谱的情况下，于迹公式的谱侧分离特定的cuspidal自守表示 $\pi$？
• RQ2 是否可能在Schwartz代数上构造一个乘子，使其在 $\pi$ 上保持作用，同时消除所有其他非cuspidal分量的作用？
• RQ3 这种分离技术能否应用于相对迹公式，以证明Langlands纲领中的全局猜想？
• RQ4 该方法是否对所有非-CAP cuspidal表示都统一有效，即使 $\pi$ 本身并非cuspidal自守表示？
• RQ5 该方法是否可用于证明单位群 $\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ 在稳定情形下的全局Gan–Gross–Prasad与Ichino–Ikeda猜想？

主要发现

• 作者在 $\mathcal{S}(G(\mathbb{A}_F))_K$ 上构造了一个乘子 $\mu\star$，使得 $\mathrm{R}(\mu\star f)$ 将 $L^2$-谱映射到cuspidal谱的 $\pi$-近似同调子空间，同时保持作用 $\pi(\mu\star f) = \pi(f)$。
• 该方法成功地分离了任意满足非诱导条件的不可约适定表示 $\pi$：即对所有但有限多个 $v$，$\pi_v$ 不是 $\operatorname{Ind}_P^G(\sigma_v)$ 的分量。
• 该技术适用于 $G = \mathrm{Res}_{F'/F}\mathrm{GL}_n$，在此情况下，分离结果对所有cuspidal分量均成立，包括那些由抛物子群诱导而来的分量。
• 该方法对compactly supported测试函数无效，凸显了在构造中使用Schwartz函数的必要性。
• 作者通过Jacquet–Rallis相对迹公式，完成了对 $\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ 在稳定情形下全局Gan–Gross–Prasad猜想及其改进形式Ichino–Ikeda猜想的证明。
• 该结果表明，对任意 $\pi$-同调分量的谱投影可通过Schwartz代数上的连续、与 $\mathrm{R}$ 可交换的乘子实现，从而提供了一种统一的谱投影机制。