[论文解读] Isotopy of Morin singularities

Kentaro Saji|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文引入了 $τ$-同痕，一种针对有限确定的芽映射的更精细的等价关系，通过在 jetspace 中要求连续路径来强化 $τ$-等价性。该文对等维 Morin 奇点的 $τ$-同痕类进行了分类，表明对于 $n$-Morin 奇点，当 $n=4i$ 时有四个类，当 $n\neq4i$ 时有两个类；而 $k$-Morin 奇点（$k<n$）在 $k$ 为偶数时有两个类，在 $k$ 为奇数时有一个类。

ABSTRACT

We define an equivalence relation called A-isotopy between finitely determined map-germs, which is a strengthened version of A-equivalence. We consider the number of A-isotopy classes of equidimensional Morin singularities, and some other well-known low-dimensional singularities. We also give an application to stable perturbations of simple equi-dimensional map-germs.

研究动机与目标

• . 定义并研究 $τ$-同痕，一种强于 $τ$-等价性的等价关系，适用于有限确定的芽映射。
• . 确定等维 Morin 奇点的 $τ$-轨道中 $τ$-同痕类的数量。
• . 将分类结果推广至其他著名的低维奇点。
• . 将分类结果应用于简单等维芽映射的稳定扰动。
• . 提供 Morin 奇点的 $τ$-同痕类的不变量与标准型。

提出的方法

• . 通过微分同胚芽的 $r$- jetspace 中的连续路径来定义 $τ$-同痕，要求保持定向的微分同胚。
• . 利用 $k$-Morin 奇点的 $(k+1)$-确定性性质，在有限 jetspace 内工作。
• . 使用零向量场 $\eta$ 和方向导数 $\eta^k\lambda$，通过条件 $\eta^k\lambda(0)\neq0$ 和秩条件来刻画 $k$-Morin 奇点。
• . 分析雅可比行列式 $\lambda$ 的 Hessian 行列式，以区分 $τ$-同痕类，尤其针对 $\Sigma^{2,0}$ 奇点。
• . 使用商代数 $\mathcal{E}_2 / \langle x_1^2, x_2^2 \rangle$ 和 $\mathcal{E}_2 / \langle x_1^2 - x_2^2, x_1x_2 \rangle$，根据 $\det \operatorname{Hess} \lambda$ 的符号来区分不同情形。
• . 应用判别准则 $\det(d(\xi g_1), d(\xi g_2), d(\eta g_1), d(\eta g_2)) \neq 0$ 来区分 $\Sigma^{2,0}$ 奇点的 $τ$-同痕类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 在 $n$-Morin 奇点的 $\tau$-轨道中，存在多少个 $\tau$-同痕类？
• RQ2 . $k$-Morin 奇点的 $\tau$-同痕类数量如何依赖于 $k$ 的奇偶性？
• RQ3 . 哪些不变量可以区分 $\Sigma^{2,0}$ 奇点的 $\tau$-同痕类？
• RQ4 . $\tau$-同痕能否用于分类简单等维芽映射的稳定扰动？
• RQ5 . $\lambda$ 的 Hessian 行列式在区分 $\tau$-同痕类型中起什么作用？

主要发现

• . 对于 $n$-Morin 奇点，当 $n=4i$ 时存在四个 $\tau$-同痕类，当 $n\neq4i$ 时存在两个类，其中 $i\in\mathbb{N}$。
• . 对于 $k$-Morin 奇点（$k<n$），当 $k=2i$ 时存在两个 $\tau$-同痕类，当 $k\neq2i$ 时存在一个类，其中 $i\in\mathbb{N}$。
• . $\Sigma^{2,0}_{\text{hyp}}$ 奇点的 $\tau$-同痕类由 $\det \operatorname{Hess}_{(\xi,\eta)} \lambda(0)$ 的符号决定，存在两个类。
• . $\Sigma^{2,0}_{\text{elli}}$ 奇点的 $\tau$-同痕类也由 $\det \operatorname{Hess}_{(\xi,\eta)} \lambda(0)$ 的符号决定，存在四个类。
• . 映射度对应于 $\Sigma^{2,0}$ 奇点分类中的不变量 $\varepsilon_2$。