[论文解读] Isotriviality is equivalent to potential good reduction for endomorphisms of ${\mathbb P}^N$ over function fields

Clayton Petsche, Lucien Szpiro+1 more|ArXiv.org|Jun 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了：对于函数域 K = k(C) 上的射影空间的自同态，其为等轨型当且仅当在 K 的所有位置上均具有潜在良好约化。作者提供了两种证明方法——一种基于代数几何与几何不变量理论，另一种基于非阿赋马德动态系统，将此前针对 P^1 的结果推广至高维情形。关键贡献在于通过局部约化性质，实现了对等轨型自同态的全局刻画。

ABSTRACT

Let $K=k(C)$ be the function field of a complete nonsingular curve $C$ over an arbitrary field $k$. The main result of this paper states that a morphism $ϕ:{\mathbb P}^N_K o{\mathbb P}^N_K$ is isotrivial if and only if it has potential good reduction at all places $v$ of $K$; this generalizes results of Benedetto for polynomial maps on ${\mathbb P}^1_K$ and Baker for arbitrary rational maps on ${\mathbb P}^1_K$. We offer two proofs: the first uses algebraic geometry and geometric invariant theory, and it is new even in the case N=1. The second proof uses non-archimedean analysis and dynamics, and it more directly generalizes the proofs of Benedetto and Baker. We will also give two applications. The first states that an endomorphism of ${\mathbb P}^N_K$ of degree at least two is isotrivial if and only if it has an isotrivial iterate. The second gives a dynamical criterion for whether (after base change) a locally free coherent sheaf ${\mathcal E}$ of rank $N+1$ on $C$ decomposes as a direct sum ${\mathcal L}\oplus...\oplus{\mathcal L}$ of $N+1$ copies of the same invertible sheaf ${\mathcal L}$.

研究动机与目标

• 将 P^1 上等轨型与潜在良好约化之间的等价性推广至函数域上的 P^N。
• 为该等价性提供两种不同的证明——一种基于几何，一种基于动力系统。
• 建立一个局部自由层在曲线上分解为同一可逆层的多个副本的直接和的判别准则。
• 证明一个自同态是等轨型当且仅当其某个迭代是等轨型。
• 统一并推广 Benedetto 与 Baker 在等轨型情形下关于测度高度与预周期点的研究结果。

提出的方法

• 将 P^N 上度为 d 的自同态的模空间 M_{N,d} 构造为 k 上的仿射 k-代数簇。
• 利用具有处处潜在良好约化的自同态诱导出的映射 C → M_{N,d} 的存在性。
• 借助 M_{N,d} 的仿射性，推导出该映射为常值，从而推出自同态为等轨型。
• 应用非阿赋马德动力系统与正规性的赋值准则，构造与预周期点相关的射影丛的截面。
• 利用线性无关的 k-有理预周期点的存在性，构造从层 E 到 O_C 的多个副本的直和的态射。
• 通过证明在每个剩余域上纤维线性无关，从而证明该态射为同构，进而推出 E 是平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域上，P^N 的自同态是否满足等轨型当且仅当其在所有位置上均具有潜在良好约化？
• RQ2 该等价性能否通过几何不变量理论证明？
• RQ3 能否通过非阿赋马德动力系统与射影丛的截面理论建立该等价性？
• RQ4 函数域上 P^N 的自同态是否具有等轨型迭代，当且仅当其本身为等轨型？
• RQ5 在曲线 C 上，秩为 N+1 的局部自由层 E 何时可分解为 N+1 个相同可逆层的直和？

主要发现

• 自同态 φ: P^N_K → P^N_K 是等轨型当且仅当其在 K 的所有位置 v 上均具有潜在良好约化。
• P^N 上度为 d 的自同态的模空间 M_{N,d} 是 k 上的仿射 k-代数簇，从而可应用几何不变量理论。
• 具有处处潜在良好约化的自同态诱导出常值映射 C → M_{N,d}，从而推出其为等轨型。
• 存在有限个线性无关的 k-有理预周期点，可由此构造出层同构 E ≅ O_C ⊕ ⋯ ⊕ O_C。
• 若 E 是平凡的，则自同态 φ 定义在常数域 k 上，从而确认其为等轨型。
• 该等价性在基域 k 不代数闭时依然成立，并可推广至所有 d ≥ 2 的次数。