[论文解读] Iterated distributive laws

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过满足杨-巴克斯方程的迭代分配律，将经典范畴论中关于两个单子之间的分配律理论推广至 n 个单子的情形，提供了一套一致地组合 n 个代数结构的框架。主要贡献是利用该框架构造了 n 维球状集上的自由严格 n-范畴单子，其中关于沿 i-胞状物复合的单子之间的分配律满足所需的相干性条件。

ABSTRACT

We give a framework for combining $n$ monads on the same category via distributive laws satisfying Yang-Baxter equations, extending the classical result of Barr and Wells which combines two monads via one distributive law. We show that this corresponds to iterating $n$-times the process of taking the 2-category of monads in a 2-category, extending the result of Street characterising distributive laws. We show that this framework can be used to construct the free strict $n$-category monad on $n$-dimensional globular sets; we first construct for each $i$ a monad for composition along bounding $i$-cells, and then we show that the interchange laws define distributive laws between these monads, satisfying the necessary Yang-Baxter equations.

研究动机与目标

• 将经典的双单子分配律框架推广至 n 个单子的情形。
• 提供一种通过迭代分配律一致组合 n 个代数结构的方法。
• 证明自由严格 n-范畴单子可由这种迭代分配律构造得出。
• 验证所得分配律满足杨-巴克斯方程，从而确保相干性。
• 通过 n-范畴中沿 i-胞状物的复合所对应的单子来展示该构造。

提出的方法

• 在同一个范畴上定义 n 个单子之间的迭代分配律，推广经典双单子情形。
• 利用单子的范畴论形式化理论，将这些分配律表征为单子 2-范畴中的态射。
• 对每个 i，构造一个单子 T_i^{(n)}，用于处理 n-范畴中沿 i-维胞状物的复合。
• 证明这些单子之间的交换律定义了满足杨-巴克斯方程的分配律。
• 验证复合单子 T_0^{(n)} ∘ T_1^{(n)} ∘ ⋯ ∘ T_{n-1}^{(n)} 同构于自由严格 n-范畴单子。
• 利用自由范畴单子是笛卡尔单子的事实，确保分配律构造中所需的上积结构得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将分配律扩展至更超过两个单子的情形，以一致地保持结合律与单位律？
• RQ2 迭代分配律需满足何种条件，才能确保所得复合单子是良定义的？
• RQ3 如何通过 i-胞状物复合所对应单子之间的分配律序列，构造自由严格 n-范畴单子？
• RQ4 n-范畴中 i-胞状物复合所对应单子之间的分配律是否满足杨-巴克斯方程？
• RQ5 是否存在一种自然方式，通过分配律关联 n-范畴中网格状复合（水平/垂直）？

主要发现

• 迭代分配律框架允许通过满足杨-巴克斯方程的分配律序列，一致地组合 n 个单子。
• 在 n 维球状集上，自由严格 n-范畴单子被构造为沿 i-胞状物复合的 n 个单子的复合，且它们之间存在分配律。
• T_0^{(n)} 与 T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)} 之间的分配律恰好对应于莱因斯特定义自由严格 n-范畴单子所使用的那个分配律。
• 该构造依赖于自由范畴单子是笛卡尔单子的事实，从而确保分配律构造中所需的上积结构得以保持。
• 从 T_0^{(n)}T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)} 到 T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)}T_0^{(n)} 不存在反向分配律，因为高度不同的柱体无法自然地映射到等高网格。
• 该框架推广了经典结果：它将巴尔与韦尔斯的双单子分配律以及斯特雷特的单子形式理论推广至 n 元情形。