[论文解读] Iterating the Cuntz-Nica-Pimsner construction for compactly aligned product systems

James E. Fletcher|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文将 Deaconu 的迭代 Toeplitz 代数与 Cuntz–Pimsner 代数构造推广至拟格序群上的紧致对齐乘积系统，特别是当该群为半直积时。证明了在 $\mathbb{N}^k$ 上的乘积系统的 Nica–Toeplitz 代数与 Cuntz–Nica–Pimsner 代数可分别实现为 Toeplitz 代数与 Cuntz–Pimsner 代数的 $k$-重迭代，建立了迭代构造与原始代数之间的同构关系。

ABSTRACT

In this article we study how decompositions of a quasi-lattice ordered group $(G,P)$ relate to decompositions of the Nica-Toeplitz algebra $\mathcal{NT}_\mathbf{X}$ and Cuntz-Nica-Pimsner algebra $\mathcal{NO}_\mathbf{X}$ of a compactly aligned product system $\mathbf{X}$ over $P$. In particular, we are interested in the situation where $(G,P)$ may be realised as the semidirect product of quasi-lattice ordered groups. Our results generalise Deaconu's work on iterated Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras - we show that the Nica-Toeplitz algebra and Cuntz-Nica-Pimsner algebra of a compactly aligned product system over $\mathbb{N}^k$ may be realised as $k$-times iterated Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras respectively.

研究动机与目标

• 澄清并扩展 Deaconu 在非交换半群上的迭代 Toeplitz 代数与 Cuntz–Pimsner 代数方面的不完整结果。
• 研究拟格序群 $(G,P)$ 作为半直积的分解如何诱导其关联的 Nica–Toeplitz 代数与 Cuntz–Nica–Pimsner 代数的分解。
• 建立 $\mathbb{N}^k$ 上乘积系统的 Cuntz–Nica–Pimsner 代数为该系统子系统 Cuntz–Pimsner 代数的 $k$-重迭代。
• 为将 Katsura 关于 $\mathcal{O}_X$ 的结果推广至高阶系统中的 Nica–Toeplitz 代数与 Cuntz–Nica–Pimsner 代数提供严谨基础。

提出的方法

• 构造一个拟格序群 $(G,P) = (H \rtimes K, Q \times R)$ 上的乘积系统 $\mathbf{X}$，其中 $P = Q \times R$。
• 通过满足 Nica 协方差与 Cuntz–Nica–Pimsner 协方差的泛表示，定义 Nica–Toeplitz 代数 $\mathcal{NT}_{\mathbf{X}}$ 与 Cuntz–Nica–Pimsner 代数 $\mathcal{NO}_{\mathbf{X}}$。
• 引入迭代构造：首先构建子系统 $\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}$ 的 Nica–Toeplitz 代数，然后构造其上的 Cuntz–Nica–Pimsner 代数，记为 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}}$。
• 构造一个同构 $\omega: \mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \to \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$ 及其逆 $\omega'$，通过泛性质与线性映射的连续性，证明 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \cong \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$。
• 利用 $\mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$ 与 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}}$ 的泛性质，验证复合映射 $\omega \circ \omega'$ 与 $\omega' \circ \omega$ 在各自代数上作用为恒等映射。
• 将结果应用于 $\mathbb{N}^k$-分次系统，表明 $k$-重迭代可恢复原始的 $\mathcal{NT}_{\mathbf{X}}$ 与 $\mathcal{NO}_{\mathbf{X}}$ 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Deaconu 对 $\mathbb{Z}^2$ 之外更一般的拟格序群的 Toeplitz 代数与 Cuntz–Pimsner 代数的迭代构造能否推广？
• RQ2 底层群 $(G,P)$ 作为半直积的分解如何影响其关联的 Nica–Toeplitz 代数与 Cuntz–Nica–Pimsner 代数的结构？
• RQ3 在 $\mathbb{N}^k$ 上的乘积系统的 Cuntz–Nica–Pimsner 代数是否同构于其子系统 Cuntz–Pimsner 代数的 $k$-重迭代？
• RQ4 在 $\mathbb{N}^k$ 上的乘积系统的 Nica–Toeplitz 代数是否可作为其子系统 Toeplitz 代数的 $k$-重迭代而生成？
• RQ5 能否通过泛性质与连续性，严谨地建立迭代构造与原始代数之间的同构关系？

主要发现

• 在 $\mathbb{N}^k$ 上的乘积系统的 Cuntz–Nica–Pimsner 代数同构于其子系统 Cuntz–Pimsner 代数的 $k$-重迭代。
• 在 $\mathbb{N}^k$ 上的乘积系统的 Nica–Toeplitz 代数同构于其子系统 Toeplitz 代数的 $k$-重迭代。
• 显式构造了同构 $\omega: \mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \to \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$ 及其逆 $\omega'$，证明了 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \cong \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$。
• 通过验证复合映射 $\omega \circ \omega'$ 与 $\omega' \circ \omega$ 在生成表示上作用为恒等映射，确立了该同构关系。
• 本研究通过为拟格序群半直积上紧致对齐乘积系统的迭代构造提供严谨框架，推广了 Deaconu 的工作。
• 该框架使得 Katsura 关于 $\mathcal{O}_X$ 的结果能够推广至 $\mathbb{N}^k$-分次系统的 Nica–Toeplitz 代数与 Cuntz–Nica–Pimsner 代数。