[论文解读] Product systems of graphs and the Toeplitz algebras of higher-rank graphs

Iain Raeburn, Aidan Sims|arXiv (Cornell University)|May 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 74

一句话总结

本文通过在半群（特别是 N^k）上使用图的乘积系统，将 Cuntz-Krieger 代数及其 Toeplitz 类似物推广到高秩图。它构建了一个希尔伯特双模的乘积系统，并通过分析对角期望并证明在强化的 Cuntz-Krieger 关系下表示的忠实性，为具有无限发射器的有限对齐 k-图的 Toeplitz 代数建立了唯一性定理，该关系考虑了非行有限结构。

ABSTRACT

There has recently been much interest in the $C^*$-algebras of directed graphs. Here we consider product systems $E$ of directed graphs over semigroups and associated $C^*$-algebras $C^*(E)$ and $\mathcal{T}C^*(E)$ which generalise the higher-rank graph algebras of Kumjian-Pask and their Toeplitz analogues. We study these algebras by constructing from $E$ a product system $X(E)$ of Hilbert bimodules, and applying recent results of Fowler about the Toeplitz algebras of such systems. Fowler's hypotheses turn out to be very interesting graph-theoretically, and indicate new relations which will have to be added to the usual Cuntz-Krieger relations to obtain a satisfactory theory of Cuntz-Krieger algebras for product systems of graphs; our algebras $C^*(E)$ and $\mathcal{T}C^*(E)$ are universal for families of partial isometries satisfying these relations. Our main result is a uniqueness theorem for $\mathcal{T}C^*(E)$ which has particularly interesting implications for the $C^*$-algebras of non-row-finite higher-rank graphs. This theorem is apparently beyond the reach of Fowler's theory, and our proof requires a detailed analysis of the expectation onto the diagonal in $\mathcal{T}C^*(E)$.

研究动机与目标

• 将 Cuntz-Krieger 代数及其 Toeplitz 类似物的理论推广到不一定是行有限的高秩图。
• 使用 Toeplitz-Cuntz-Krieger 家族为图的乘积系统定义普遍 C*-代数，确保与 Nica-协变表示兼容。
• 确定关联的希尔伯特双模乘积系统为紧致对齐的条件，从而能够应用 Fowler 的理论。
• 为具有无限发射器的 k-图的 Toeplitz 代数建立一个精确的唯一性定理，克服先前结果的局限性。

提出的方法

• 从半群（特别是 N^k）上的有向图乘积系统 E 构建希尔伯特双模的乘积系统 X(E)。
• 定义 Toeplitz-E-族，并建立其与 X(E) 的 Toeplitz 表示之间的一一对应关系。
• 刻画使得 X(E) 为紧致对齐的有限对齐乘积系统 E，从而能够应用 Fowler 理论处理 Nica-协变表示。
• 引入一种强化的 Cuntz-Krieger 关系，涉及投影乘积的正性，取代标准的投影和条件。
• 分析 T*C(E) 中对角期望，以证明在新关系下表示的忠实性。
• 利用 Z^k 的可约性以及存在避开有限条边集合的长路径的性质，证明某些投影乘积非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Cuntz-Krieger 代数及其 Toeplitz 类似物推广到非行有限的高秩图？
• RQ2 何种条件下，图的乘积系统能保证其关联的希尔伯特双模为紧致对齐？
• RQ3 非行有限 k-图的 Cuntz-Krieger 关系的正确推广是什么？
• RQ4 能否为具有无限多条边从每个顶点发出的 k-图的 Toeplitz 代数建立一个在非行有限情形下仍精确的唯一性定理？
• RQ5 在非行有限情形下，Toeplitz 代数中的对角期望如何与表示的忠实性相关？

主要发现

• 本文为有限对齐的图乘积系统定义了普遍 Toeplitz 代数 T*C(E)，它由一个 Toeplitz-Cuntz-Krieger E-族生成。
• 识别出一种新的 Cuntz-Krieger 关系：对每个顶点 v 和有限集 G_m ⊂ s^{-1}_{e_m}(v)，有 ∏_{m=1}^k (t_v - ∑_{λ∈G_m} t_λ t_λ^*) > 0。
• 该强化关系在满足 |Λ^{e_i}(v)| = ∞ 对所有 v 和 i 的 k-图情形下，既是表示忠实性的必要条件也是充分条件。
• 主要唯一性定理表明，对于此类 k-图，任何具有非零顶点投影的 Cuntz-Krieger 家族均生成 C*(E) 的忠实表示。
• 证明依赖于构造度数为 ∑_{i=1}^k e_i 的路径 μ_k，使其避开指定的有限条边集合，从而确保 t_μ_k t_μ_k^* 非零且在投影乘积下仍保持非零。
• 结果表明，当 k-图无源点且每个顶点在每个度数上均发出无限多条边时，有 T*C(E) = C*(E)，从而在该情形下统一了 Toeplitz 代数与 Cuntz-Krieger 代数。