[论文解读] Iwasawa Main Conjecture for Rankin-Selberg $p$-adic $L$-functions: Non-Ordinary Case

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 10

一句话总结

本文證明了非普通情形下 Iwasawa-Greenberg 主猜想對 Rankin-Selberg $p$-進 $L$-函數的一個可除性，顯示與權為二的模形式及更高權的普通 CM 形式相關的 $p$-進 $L$-函數包含對應 Selmer 群的特徵理想。此結果將先前僅適用於普通情形的工作推廣至非普通設定，並為證明超奇異橢圓曲線的 Iwasawa 主猜想與精化 Birch-Swinnerton-Dyer 公式至關重要。

ABSTRACT

In this paper we prove that the $p$-adic $L$-function that interpolates the Rankin-Selberg product of a general weight two modular form which is unramified and non-ordinary at $p$, and an ordinary CM form of higher weight contains the characteristic ideal of the corresponding Selmer group. This is one divisibility of the Iwasawa-Greenberg main conjecture for the $p$-adic $L$-function. This generalizes an earlier work of the author to the non-ordinary case. The result of this paper plays a crucial role in the proof of Iwasawa main conjecture and refined Birch-Swinnerton-Dyer formula for supersingular elliptic curves.

研究动机与目标

• 建立非普通情形下 $p$-進 $L$-函數的 Iwasawa-Greenberg 主猜想的一個可除性。
• 將先前針對普通 $p$-進 $L$-函數的研究結果推廣至涉及權為二模形式與普通 CM 形式的非普通設定。
• 提供證明 Iwasawa 主猜想與超奇異橢圓曲線精化 Birch-Swinnerton-Dyer 公式的關鍵要素。
• 展示插值 Rankin-Selberg $L$-函數的 $p$-進 $L$-函數包含相應 Selmer 群的特徵理想。

提出的方法

• 利用 Rankin-Selberg 方法構造的 $p$-進 $L$-函數，適用於在 $p$ 處非分歧且非普通的權為二模形式，以及更高權的普通 CM 形式。
• 應用 Iwasawa 理論技術，將 $p$-進 $L$-函數與 Selmer 群的特徵理想聯繫起來。
• 運用非普通設定下 $p$-進 $L$-函數理論，特別著重於插值性質與 $p$-進解析行為。
• 利用普通 CM 形式的結構來控制 $p$-進 $L$-函數的行為，即使權為二的形式在 $p$ 處非普通。
• 透過 $p$-進 $L$-函數插值與 Selmer 群控制比較 $p$-進 $L$-函數與特徵理想，從而建立可除性。
• 依賴歐拉系理論與非普通情形下 $p$-進 $L$-函數的結構，以達成主要結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 與非普通權為二模形式及普通 CM 形式相關的 $p$-進 $L$-函數是否包含對應 Selmer 群的特徵理想？
• RQ2 Iwasawa 主猜想對 $p$-進 $L$-函數能否推廣至非普通情形？
• RQ3 當一個因子在 $p$ 處非普通而另一個為普通時，$p$-進 $L$-函數的結構如何表現？
• RQ4 CM 形式在非普通設定下對控制 $p$-進 $L$-函數發揮何種作用？
• RQ5 此結果如何貢獻於超奇異橢圓曲線的精化 Birch-Swinnerton-Dyer 公式？

主要发现

• 插值非普通權為二模形式與更高權普通 CM 形式之 Rankin-Selberg $L$-函數的 $p$-進 $L$-函數，包含對應 Selmer 群的特徵理想。
• 此包含關係確立了非普通情形下 Iwasawa-Greenberg 主猜想的一個可除性。
• 此結果將先前受限於普通設定的研究推廣，使主猜想的適用性擴展至非普通 $p$-進 $L$-函數。
• 證明依賴於 $p$-進 $L$-函數、Selmer 群與 CM 形式在非普通背景下的特殊結構之間的互動。
• 此工作為證明 Iwasawa 主猜想與超奇異橢圓曲線的精化 Birch-Swinnerton-Dyer 公式提供了關鍵一步。
• 該方法成功應對了因 $p$ 處非普通行為所產生的技術挑戰，並透過 CM 形式的普通性質加以克服。