[论文解读] K-moduli of curves on a quadric surface and K3 surfaces

Kenneth Ascher, Kristin DeVleming+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文证明了对 $(4,4)$-曲线 $C$ 的对数法诺对 $(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, cC)$ 的 $K$-模空间经历的墙交叉恰好对应于 $\mathbb{P}^3$ 中 $(2,4)$-完全交曲线的几何不变量理论（VGIT）商的变体，从而在 $(4,4)$-曲线的 GIT 商与四次双曲型 $K3$ 曲面的 Baily-Borel 紧化之间提供了模形式插值。

ABSTRACT

We show that the K-moduli spaces of log Fano pairs $(\mathbb{P}^1 imes\mathbb{P}^1, cC)$ where $C$ is a $(4,4)$-curve and their wall crossings coincide with the VGIT quotients of $(2,4)$ complete intersection curves in $\mathbb{P}^3$. This, together with recent results by Laza-O'Grady, implies that these K-moduli spaces form a natural interpolation between the GIT moduli space of $(4,4)$-curves on $\mathbb{P}^1 imes\mathbb{P}^1$ and the Baily-Borel compactification of moduli of quartic hyperelliptic K3 surfaces.

研究动机与目标

• 利用 $K$-稳定性作为框架，构建并研究对数法诺对 $(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, cC)$（其中 $C$ 为 $(4,4)$-曲线）的 $K$-模空间。
• 解决长期存在的问题：比较四次双曲型 $K3$ 曲面模空间的 Baily-Borel 紧化与 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上 $(4,4)$-曲线的 GIT 紧化之间的关系。
• 证明当 $c \in (0, \frac{1}{2})$ 变化时，$K$-模空间中的墙交叉与 $\mathbb{P}^3$ 中 $(2,4)$-完全交曲线的 VGIT 墙交叉完全一致。
• 通过 $K$-稳定性提供从 GIT 与 Baily-Borel 紧化之间的中间紧化空间的模解释。

提出的方法

• 利用 [ADL19] 中的 $K$-多项式稳定的对数法诺对框架，构造了表示 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 可光滑化 $K$-多项式稳定对 $(X, cD)$ 的合适好模空间 $\overline{K}_c$。
• 通过关系式 $t = \frac{3c}{2c + 2}$ 建立了 $K$-模空间参数 $c$ 与 VGIT 参数 $t$ 之间的对应，将 $K$-稳定性与 VGIT 稳定性联系起来。
• 应用 $CM$ 线丛计算，通过公式 $\lambda_{\mathrm{CM}} = \mathcal{O}(3(2 - dc)^2 c)$（其中 $d=4$）将对 $(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, cC)$ 的 $K$-稳定性与曲线 $C$ 的 GIT 稳定性联系起来。
• 利用全局 Torelli 定理与周期映射，将 $K$-模空间与双曲型四次 $K3$ 曲面的周期域联系起来。
• 通过在墙上的归纳法与 $CM$ 线丛及 VGIT 线丛 $N_t$ 的稳定性条件比较，证明了比例关系 $\lambda_{U,c} \propto N_t$，其中 $t = \frac{6c}{dc + 4}$。
• 应用 Laza-O'Grady [LO21] 关于周期域 $\mathscr{F}^*$ 中墙交叉的结果，表明 $\mathscr{F}(\beta) = \mathrm{Proj} R(\lambda + \beta \Delta)$ 插值于 $\mathfrak{M}$ 与 $\mathscr{F}^*$ 之间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用对数法诺对 $(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1, cC)$（其中 $C$ 为 $(4,4)$-曲线）的 $K$-模空间，在 $(4,4)$-曲线的 GIT 商与四次双曲型 $K3$ 曲面的 Baily-Borel 紧化之间实现插值？
• RQ2 在 $K$-模空间 $\overline{K}_c$ 中的墙交叉是否精确对应于 $\mathbb{P}^3$ 中 $(2,4)$-完全交曲线的 VGIT 墙交叉？
• RQ3 是否存在通过 $K$-稳定性对 GIT 与 Baily-Borel 紧化之间的中间空间的模解释？
• RQ4 参数 $c$ 与 VGIT 参数 $t$ 之间的精确关系是什么？
• RQ5 在哪些 $c$ 值下，同构 $\overline{K}_{d,c} \cong \mathfrak{M}_d(t)$ 成立，又在何处失效？

主要发现

• 当 $c \in (0, \frac{1}{8})$ 时，$K$-模空间 $\overline{K}_c$ 同构于 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上 $(4,4)$-曲线的 GIT 商 $\mathfrak{M}$，确立了首次墙交叉。
• 在 $c = \frac{1}{8}$ 处的墙交叉对应于 $K$-稳定性中的首次非平凡变化，标志着 $\overline{K}_c \cong \mathfrak{M}$ 到具有非平凡自同构群的新模空间的转变。
• 当 $c \in (0, \frac{4 - \sqrt{2}}{8})$ 时，$K$-模空间 $\overline{K}_c$ 同构于参数为 $t = \frac{3c}{2c + 2}$ 的 VGIT 商 $\mathfrak{M}(t)$，表明 $K$-模空间与 VGIT 墙交叉的精确对应。
• $K$-模空间上的 $CM$ 线丛 $\lambda_{\mathrm{CM}}$ 与 VGIT 线丛 $N_t$ 成比例，比例关系为 $t = \frac{6c}{dc + 4}$（其中 $d=4$），证实了稳定性等价性。
• $\overline{K}_c$ 的墙交叉结构与 Laza-O'Grady 构造的插值 $\mathscr{F}(\beta) = \mathrm{Proj} R(\lambda + \beta \Delta)$（$0 \leq \beta \leq 1$）完全一致。
• 当 $d \neq 4$（如 $d=3$）时，$\overline{K}_{d,c} \cong \mathfrak{M}_d(t)$ 在 $c > \frac{4 - \sqrt{2}}{2d}$ 时失效，例如在 $\overline{K}_{3,\frac{1}{2}}$ 中出现了 $\mathbb{P}(1,2,9)$ 的例子。