[论文解读] $k$-Uniform states and quantum information masking

Fei Shi, Mao-Sheng Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文利用线性码、正交数组和代数几何码，提出了 $k$-均匀量子态的一般构造方法，证明了当 $d \geq 4k-2$（素数幂）且 $N \geq 2k$ 时，以及当 $2k \leq N \leq d+1$ 时，$d \geq 2k-1$，$k$-均匀态的存在性。此外，本文引入了 $k$-均匀量子信息掩蔽，表明 $k$-均匀态与量子纠错码可实现强掩蔽协议，使信息对任意 $k$ 个子系统隐藏。

ABSTRACT

A pure state of $N$ parties with local dimension $d$ is called a $k$-uniform state if all the reductions to $k$ parties are maximally mixed. Based on the connections among $k$-uniform states, orthogonal arrays and linear codes, we give general constructions for $k$-uniform states. We show that when $d\geq 4k-2$ (resp. $d\geq 2k-1$) is a prime power, there exists a $k$-uniform state for any $N\geq 2k$ (resp. $2k\leq N\leq d+1$). Specially, we give the existence of $4,5$-uniform states for almost every $N$-qudits. Further, we generalize the concept of quantum information masking in bipartite systems given by [Modi \emph{et al.} {Phys. Rev. Lett. extbf{120}, 230501 (2018)}] to $k$-uniform quantum information masking in multipartite systems, and we show that $k$-uniform states and quantum error-correcting codes can be used for $k$-uniform quantum information masking.

研究动机与目标

• 通过与正交数组和线性码的关联，建立 $k \geq 4$ 的 $k$-均匀态的一般构造方法。
• 解决多体哑音系统中 $k \geq 4$ 时 $k$-均匀态存在性条件的长期开放问题。
• 将量子信息掩蔽推广至多体系统中的 $k$-均匀掩蔽，确保信息对任意 $k$ 个子系统隐藏。
• 证明 $k$-均匀态与量子纠错码可用于实现强掩蔽协议。

提出的方法

• 利用 $k$-均匀态与正交数组（OAs）之间的等价性，通过有限域上的线性码构造态。
• 应用代数几何码在 $d$ 为素数幂时构造 $k$-均匀态，利用具有大量有理点且满足亏格约束的曲线。
• 利用线性码的对偶性与最小距离性质，确保所有 $k$-体约化密度矩阵均为最大混合态。
• 使用引理 15 验证：当基态正交时，态的 Schmidt 分解可产生最大混合约化密度矩阵。
• 应用引理 16 将 $k$-均匀态与量子纠错码（QECCs）关联，表明 $k$-均匀子空间对应于 $((N,K,k+1))_d$ QECCs。
• 结合理论界限（如 Rains 界）与显式构造（如自偶码、AME 表）验证在 $N$ 与 $d$ 范围内的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \geq 4$ 时，$N$ 个哑音系统且局部维数为 $d$ 的 $k$-均匀态在何种条件下存在？
• RQ2 能否通过线性码与正交数组系统地构造 $k$-均匀态？
• RQ3 能否将量子信息掩蔽推广至多体系统中的 $k$-均匀掩蔽，使信息对任意 $k$ 个子系统隐藏？
• RQ4 在实现强掩蔽协议方面，$k$-均匀态与量子纠错码之间存在何种关系？

主要发现

• 当 $d \geq 4k-2$ 且 $d$ 为素数幂时，对所有 $N \geq 2k$，$k$-均匀态存在，提供了广泛的存在性条件。
• 当 $d \geq 2k-1$ 且 $d$ 为素数幂时，$k$-均匀态在 $2k \leq N \leq d+1$ 范围内存在，扩展了已知的存在范围。
• 本文证明了当 $d$ 为素数幂时，几乎所有 $N$-哑音系统中均存在 $4$-和 $5$-均匀态。
• 对于 $d \geq 18$ 且非素数幂、$N \geq 18$ 的情况，提供了使用代数几何码构造 $5$-均匀态的显式方法。
• 通过使用对偶性与码的级联，确认了在所有 $d \geq 2$ 且 $N \geq 18$ 的情况下，$(\mathbb{C}^d)^{\otimes N}$ 中 $5$-均匀态的存在性。
• 本文确立了 $k$-均匀态与 $((N,K,k+1))_d$ 量子纠错码之间的等价性，从而实现了对单哑音态的 $k$-均匀掩蔽。