[论文解读] KP integrability of triple Hodge integrals. III. Cut-and-join description, KdV reduction, and topological recursions

A. Alexandrov|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文通过推导完整的海森堡-维拉索罗代数约束并构造实现代数拓扑递归的剪切-连接算子，确立了在卡拉比-丘条件下的三重霍奇积分的KP可积性。证明了对于KdV约化参数，这些tau函数与ψ类和κ类交点数的生成函数一致，从而确认了在一般Θ情形下切赫夫-艾纳尔德-奥兰蒂尼拓扑递归的辛不变性。

ABSTRACT

In this paper, we continue our investigation of the triple Hodge integrals satisfying the Calabi-Yau condition. For the tau-functions, which generate these integrals, we derive the complete families of the Heisenberg-Virasoro constraints. We also construct several equivalent versions of the cut-and-join operators. These operators describe the algebraic version of topological recursion. For the specific values of parameters associated with the KdV reduction, we prove that these tau-functions are equal to the generating functions of intersection numbers of $ψ$ and $κ$ classes. We interpret this relation as a symplectic invariance of the Chekhov--Eynard--Orantin topological recursion and prove this recursion for the general $Θ$-case.

研究动机与目标

• 确立满足卡拉比-丘条件的三重霍奇积分的KP可积性。
• 为相关tau函数推导完整的海森堡-维拉索罗代数约束族。
• 构造实现这些不变量代数拓扑递归的剪切-连接算子。
• 证明KdV约化后的三重霍奇积分与ψ类和κ类交点数生成函数一致。
• 确认一般Θ情形下切赫夫-艾纳尔德-奥兰蒂尼拓扑递归的辛不变性。

提出的方法

• 从KP层级的对称性推导海森堡-维拉索罗代数约束。
• 构造多个等价形式的剪切-连接算子，以编码代数拓扑递归。
• 利用剪切-连接算子，通过以欧拉算子为主项的微分方程递归生成tau函数。
• 通过将参数转换为κ类关系，应用KdV约化，将三重霍奇积分与标准交点理论联系起来。
• 将KdV约化后的tau函数识别为ψ类和κ类交点数的生成函数。
• 利用剪切-连接框架证明三重霍奇积分及其Θ变形的拓扑递归。

实验结果

研究问题

• RQ1 在卡拉比-丘条件下，能否为三重霍奇积分的tau函数推导出完整的海森堡-维拉索罗代数约束？
• RQ2 如何构造剪切-连接算子以描述这些不变量的代数拓扑递归？
• RQ3 KdV约化后的三重霍奇积分与ψ类和κ类交点数之间是否存在精确对应？
• RQ4 切赫夫-艾纳尔德-奥兰蒂尼拓扑递归是否适用于霍奇积分的一般Θ情形？
• RQ5 能否证明Θ-霍奇积分情形下拓扑递归的辛不变性？

主要发现

• 在卡拉比-丘条件下，三重霍奇积分的tau函数满足完整的海森堡-维拉索罗代数约束。
• 以多种等价形式构造了剪切-连接算子，为拓扑递归提供了代数实现。
• 对于KdV约化参数，证明了tau函数等于ψ类和κ类交点数的生成函数。
• KdV约化将三重霍奇积分的tau函数映射到康特绍维奇-维滕和布雷津-格罗斯-维滕的tau函数。
• 本文证明了切赫夫-艾纳尔德-奥兰蒂尼拓扑递归在一般Θ情形下成立，从而确认了辛不变性。
• 推导出tau函数的显式拓扑展开式，其系数以参数p和q的有理函数形式表达。