[论文解读] $L_\infty$-algebra extensions of Leibniz algebras

Sylvain Lavau, Jim Stasheff|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用 2

一句话总结

本文从任意李布尼兹代数 $V$ 构造了一个典范的、函子性的 $L_∞$-代数扩张，建立了李布尼兹代数与 $L_\infty$-代数之间的系统性联系。该构造为张量层级中的微分graded李代数结构提供了更清晰、更直接的推导，从而为高能物理中李布尼兹规范理论的数学基础提供了支持。

ABSTRACT

Leibniz algebras have been increasingly used in gauging procedures in supergravity. Their relationship with $L_\infty$-algebras and tensor hierarchies have been explored in the physics literature. This paper is devoted to showing that a Leibniz algebra $V$ gives rise to a non-positively graded $L_\infty$-algebra. We call such an $L_\infty$-algebra an '$L_\infty$-extension of the Leibniz algebra $V$' and show that this construction is functorial. We will also use the opportunity of building this functor to provide a more clear and straightforward construction of the differential graded Lie algebra structure equipping the tensor hierarchy, previously presented in arXiv:1708.07068. We do not claim that the $L_\infty$-algebra thus obtained from a Leibniz algebra should be the 'correct' one, that physicists should use in their models, though many of them do. However, we stress that a canonical and functorial construction exists, hence justifying that there is room for well-defined Leibniz gauge theories.

研究动机与目标

• 从任意李布尼兹代数 $V$ 建立一个典范的、函子性的 $L_\infty$-代数构造。
• 阐明超引力模型中张量层级背后的数学结构。
• 提供张量层级中微分graded李代数结构更透明、更直接的推导。
• 通过系统的代数构造，证明李布尼兹规范理论在数学上的合理性。

提出的方法

• 通过系统性、函子性的程序，将李布尼兹代数 $V$ 映射为一个非正度数的 $L_\infty$-代数。
• 利用李布尼兹代数的括号及其高阶同伦关系来定义 $L_\infty$-代数结构。
• 该方法利用 $L_\infty$-代数的性质，编码张量层级的微分graded李代数结构。
• 证明该构造是函子性的，保持李布尼兹代数之间态射的结构。
• 以更透明、更具概念清晰性的方式重新推导张量层级的微分graded李代数结构。
• 该框架避免了临时性选择，强调了典范性，并与物理应用保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从李布尼兹代数中函子性地构造出一个典范的 $L_\infty$-代数？
• RQ2 该 $L_\infty$-代数构造与张量层级中微分graded李代数结构有何关系？
• RQ3 函子性在确保基于李布尼兹代数的规范理论一致性中起什么作用？
• RQ4 是否存在一种系统性方法，可在不依赖物理直觉的前提下推导张量层级的代数结构？
• RQ5 该构造是否能证明李布尼兹规范理论在超引力中的数学合法性？

主要发现

• 从任意李布尼兹代数 $V$ 构造出一个典范的、函子性的 $L_\infty$-代数扩张，确保了结构的一致性与保全。
• 该构造为张量层级中微分graded李代数结构提供了更直接、更具概念透明性的推导。
• $L_\infty$-代数结构为非正度数，反映了超引力中规范场的代数层级。
• 该构造的函子性质确保了与李布尼兹代数之间态射的兼容性，支持了一个稳健的数学框架。
• 该框架通过系统性、典范性的构造，证明了李布尼兹规范理论的数学存在性。
• 该方法为 arXiv:1708.07068 中先前的构造提供了替代方案，提升了清晰度与概念基础。