[论文解读] Lagrangian and Hamiltonian Geometries. Applications to Analytical Mechanics

Miron Radu|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 22被引用 11

一句话总结

本专著通过在切丛和余切丛上使用拉格朗日几何与哈密顿几何，构建了一个解析力学的几何框架，实现了对非保守系统和高阶力学系统的严格表述。它引入了阶数 $k \geq 1$ 的芬斯勒系、拉格朗日系与哈密顿系，通过变分法和速度空间与动量空间上的非线性联络，统一处理了运动方程与守恒律。

ABSTRACT

The aim of the present text is twofold: to provide a compendium of Lagrangian and Hamiltonian geometries and to introduce and investigate new analytical Mechanics: Finslerian, Lagrangian and Hamiltonian. The fundamental equations (or evolution equations) of these Mechanics are derived from the variational calculus applied to the integral of action and these can be studied by using the methods of Lagrangian or Hamiltonian geometries. More general, the notions of higher order Lagrange or Hamilton spaces have been introduced and developed by the present author. The applications led to the notions of Lagrangian or Hamiltonian Analytical Mechanics of higher order. For short, in this text we aim to solve some difficult problems: The problem of geometrization of classical non conservative mechanical systems; The foundations of geometrical theory of new mechanics: Finslerian, Lagrangian and Hamiltonian;To determine the evolution equations of the classical mechanical systems for whose external forces depend on the higher order accelerations. My colleagues Professors M. Anastasiei, I. Bucataru, I. Mihai, K. Stepanovici made important remarks and suggestions and Mrs. Carmen Savin prepared an excellent print-form of the hand-written text. Many thanks to all of them.

研究动机与目标

• 为解析力学中的拉格朗日几何与哈密顿几何提供一部全面的综述性著作。
• 利用切丛的微分几何方法，解决经典非保守力学系统（具有速度依赖力）的几何化问题。
• 引入并研究阶数 $k \geq 1$ 的芬斯勒系、拉格朗日系与哈密顿系。
• 将经典变分原理推广至高阶加速度情形，并推导相应的运动方程。
• 通过勒让德变换建立阶数 $k$ 的拉格朗日与哈密顿空间之间的对偶性。

提出的方法

• 利用光滑流形 $M$ 的切丛 $TM$ 与余切丛 $T^*M$，构建阶数为 1 与 $k \geq 1$ 的拉格朗日空间与哈密顿空间。
• 定义基本几何对象：Liouville 向量场 $\mathbb{C}$、切丛结构 $J$、半喷射场 $S$、非线性联络 $N$，以及度量性 $N$-联络 $D$。
• 利用勒让德变换关联拉格朗日与哈密顿几何，建立 $L^{(k)n}$ 与 $H^{(k)n}$ 空间之间的对偶性。
• 从作用积分 $I(c) = \int_0^1 L(x, \dot{x}) \, dt$ 上应用变分原理，推导出欧拉-拉格朗日方程。
• 从拉格朗日函数构造典型半喷射场与非线性联络，从而推导出运动方程。
• 将理论应用于黎曼系、芬斯勒系与广义拉格朗日系，包括依赖于高阶加速度的外力系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用微分几何方法，严格地将具有速度依赖力的非保守力学系统几何化？
• RQ2 外部力依赖于高阶加速度（$k \geq 2$）的力学系统的几何结构是什么？
• RQ3 如何利用切丛的几何方法，一致地定义并分析芬斯勒系与拉格朗日系？
• RQ4 勒让德变换在将拉格朗日与哈密顿力学的对偶性推广至高阶系统中起到何种作用？
• RQ5 当外部力依赖于位置的高阶导数时，黎曼力学系统的根本运动方程是什么？

主要发现

• 通过将非保守力学系统嵌入切丛 $TM$ 的几何结构中，成功建立了一个完整的几何框架，解决了其长期存在的严格几何化难题。
• 该理论引入并严格定义了芬斯勒力学系统 $\Sigma_F = (M, F, F_e)$ 与卡坦力学系统，将经典力学拓展至黎曼系与拉格朗日系框架之外。
• 对于外部力依赖于高阶加速度（$\dot{x}^i, \ddot{x}^i, \dots, \frac{d^k x^i}{dt^k}$）的力学系统，本文推导出广义运动方程，扩展了经典欧拉-拉格朗日方程。
• 与拉格朗日函数 $L(x,y)$ 关联的典型半喷射场 $S$ 确定一个非线性联络 $N$ 与一个度量性 $N$-联络 $D$，从而可构造曲率与结构方程。
• 在速度空间 $TM$ 上构建了一个近凯勒模型，为拉格朗日空间中电磁场与引力场的几何研究提供了基础。
• 将勒让德变换推广至高阶空间，建立了 $L^{(k)n}$ 与 $H^{(k)n}$ 之间的对偶性，并导出了哈密顿空间阶数 $k$ 的哈密顿-雅可比方程。