[论文解读] Lagrangian cobordism in Lefschetz fibrations

Paul Biran, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了具有负端的Lefschetz纤维化中Lagrangian cobordism的分解定理，证明其在导出Fukaya范畴中生成对象。该研究通过展示这些关系源于Lefschetz纤维化中的共同几何框架，统一了Lagrangian子流形之间两种已知类型的关联——一种来自Dehn扭转，另一种来自平凡纤维化。

ABSTRACT

Given a symplectic manifold $(M^{2n},ω)$ we study Lagrangian cobordisms $V\subset E$ where $E$ is the total space of a Lefschetz fibration having $M$ as generic fiber. We prove a generation result for these cobordisms in the appropriate derived Fukaya category. As a corollary, we analyze the relations among the Lagrangian submanifolds $L\subset M$ that are induced by these cobordisms. This leads to a unified treatment - and a generalization - of the two types of relations among Lagrangian submanifolds of $M$ that were previously identified in the literature: those associated to Dehn twists that were discovered by Seidel and the relations induced by cobordisms in trivial symplectic fibrations described in our previous work.

研究动机与目标

• 在导出Fukaya范畴中，为具有负端的Lefschetz纤维化中的Lagrangian cobordism建立一个分解结果。
• 统一辛流形中Lagrangian子流形之间两类不同的关系：Seidel的Dehn扭转关系与作者先前工作中关于平凡纤维化中cobordism的关系。
• 将导出Fukaya范畴的框架扩展至包含tame Lefschetz纤维化中的单调Lagrangian cobordism。
• 证明纤维的导出Fukaya范畴的Grothendieck群由cobordism诱导的Lagrangian的像生成。
• 通过cobordism分解与平行移动，为导出Fukaya范畴中的精确三角形提供几何解释。

提出的方法

• 通过在通用Novikov环$\mathcal{A}$上使用具有$\mathbb{Z}_2$系数的$A_\infty$-范畴，为tame Lefschetz纤维化$\pi: E \to \mathbb{C}$的总空间$E$构造一个导出Fukaya范畴$D\mathcal{F}uk^*(E)$。
• 将具有负端的Lagrangian cobordism $V \subset E$ 定义为投影到$\mathbb{C}$上为射线$(-\infty, a_i] \times \{i\}$的并集的嵌入Lagrangian，并通过$\mathcal{L}^*(E)$施加单调性约束。
• 通过基空间$\mathbb{C}$中的路径进行平行移动，关联不同纤维中的Lagrangian，特别是传输消失循环和匹配循环。
• 应用Yoneda嵌入将每个Lagrangian关联到模组$\mathcal{Y}(L)$，并使用锥构造在$D\mathcal{F}uk^*(M)$中分解cobordism诱导的对象。
• 利用在$\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1$中所有Lagrangian球面均为哈密顿同伦等价的事实，识别出传输后的Lagrangian与反对角线$S$之间的同构。
• 通过图-Y手术构造与cobordism分解，推导出精确三角形，特别证明在$D\mathcal{F}uk^*(M)$中$T \cong \textnormal{cone}(S \to S)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在导出Fukaya范畴中系统地分解Lefschetz纤维化中的Lagrangian cobordism？
• RQ2 cobordism诱导的关系与两种已知的Lagrangian关系（Seidel的Dehn扭转关系与平凡纤维化中cobordism的关系）之间有何关系？
• RQ3 导出Fukaya范畴的纤维是否可由cobordism诱导的Lagrangian在平行移动下的像生成？
• RQ4 在$D\mathcal{F}uk^*(\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1)$中，同构$T \cong \textnormal{cone}(S \to S)$的态射$S \to S$的精确结构是什么？
• RQ5 Lefschetz纤维化中临界点的数量和位置的变化如何影响诱导cobordism的拓扑与单调性？

主要发现

• 在tame Lefschetz纤维化中，所有单调的负端Lagrangian cobordism在导出Fukaya范畴$D\mathcal{F}uk^*(E)$中生成对象，从而确立了分解结果。
• 在$D\mathcal{F}uk^*(\Sigma^{(\lambda_1)})$中，同构$S^{(\lambda_1)} \cong \textnormal{cone}(S_1 \otimes E \to L^{(\lambda_1)})$成立，其中$S_1$为消失循环，$E = HF(\hat{S}_1, W)$为一维空间。
• 在$\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1$中，分裂环面$T$同构于$D\mathcal{F}uk^*(M)$中的$\textnormal{cone}(S \to S)$，其中$S$为反对角线Lagrangian球面。
• 该构造通过Lefschetz纤维化将Seidel的Dehn扭转关系与先前关于平凡纤维化中cobordism的关系统一于同一框架。
• 具有多个临界值（如三个或四个）的cobordism可构造出非平凡拓扑，即使两端均为球面或环面。
• 通过平行移动与锥分解，已证明$D\mathcal{F}uk^*(M)$的Grothendieck群由cobordism诱导Lagrangian的像生成。