[论文解读] Lagrangian potential theory and a Lagrangian equation of Monge-Ampère type

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文在配备 Gromov 兼容度量的辛流形上提出了一种新颖的拉格朗日势论，定义了一个源自 Hessian 矩阵的迹与反对称赫米特部分的拉格朗日 Monge-Ampère 算子。该研究证明了对所有 $N = 2^n$ 个分支的算子，其 Dirichlet 问题存在唯一解，将经典全纯势论推广至拉格朗日设置，并应用于 Gromov 流形与复空间 $𝔵^n$。主要贡献在于完整求解了 Dirichlet 问题，并通过拉格朗日子空间给出了算子的新几何表征。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to establish a Lagrangian potential theory, analogous to the classical pluripotential theory, and to define and study a Lagrangian differential operator of Monge-Ampere type. This development is new even in ${\bf C}^n$. However, it applies quite generally -- perhaps most importantly to symplectic manifolds equipped with a Gromov metric. The Lagrange Monge-Ampere operator is an explicit polynomial on ${ m Sym}^2(TX)$ whose principle branch defines the space of Lag-harmonics. Interestingly the operator depends only on the Laplacian and the SKEW-Hermitian part of the Hessian. The Dirichlet problem for this operator is solved in both the homogeneous and inhomogeneous cases. The homogeneous case is also solved for each of the other branches. This paper also introduces and systematically studies the notions of Lagrangian plurisubharmonic and harmonic functions, and Lagrangian convexity. An analogue of the Levi Problem is proved. In ${\bf C}^n$ there is another concept, Lag-plurihamonics, which relate in several ways to the harmonics on any domain. Parallels of this Lagrangian potential theory with standard (complex) pluripotential theory are constantly emphasized.

研究动机与目标

• 开发一种类似于复几何中经典全纯势论的拉格朗日势论。
• 在配备 Gromov 兼容度量的辛流形上，定义并研究一种拉格朗日型 Monge-Ampère 微分算子。
• 在有界区域且边界为严格拉格朗日凸的条件下，求解拉格朗日 Monge-Ampère 方程的齐次与非齐次 Dirichlet 问题。
• 引入并分析拉格朗日全纯次调和函数与调和函数、拉格朗日凸性的概念。
• 在拉格朗日设置中证明 Levi 问题的类比结果，建立伪凸性的几何表征。

提出的方法

• 拉格朗日 Monge-Ampère 算子被定义为 $𝔵^{2n}$ 上 $𝔵^{2n}$ 的对称二次张量空间 $𝔵^{2n}$ 上的齐次多项式，仅依赖于 Hessian 的迹与反对称赫米特部分。
• 算子的主要分支在几何上被表征为所有满足 $\mathrm{tr}(A|_W) \geq 0$ 的矩阵 $A$ 的集合，其中 $W$ 遍历所有拉格朗日 $n$-平面。
• 提供了两种内在构造：一种通过 $𝔵^c$-丛 $𝔵^{0,*}(X)$，另一种通过 $𝔵^n_{𝔵}𝔵^{2n}$ 上的导子，二者在 Gromov 流形上给出相同的算子。
• 证明该算子关于单位矩阵为 G {\i}rding 双曲型，从而产生 $N$ 个嵌套的子方程，对应于递增的 G {\i}rding 特征值 $\Lambda_k(A) \geq 0$。
• 利用粘性解与边界上的严格拉格朗日凸性条件，对每个 $N$ 个分支求解了 Dirichlet 问题，确保了解的存在性与唯一性。
• 通过所有拉格朗日平面上的 Hessian 条件定义了拉格朗日全纯次调和函数，并通过粘性测试函数将其推广至上半连续函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在辛流形上的拉格朗日设置中发展出类似于全纯势论的势论？
• RQ2 拉格朗日 Monge-Ampère 算子的内在结构是什么？它与拉格朗日子空间的几何有何关联？
• RQ3 在几何凸性条件下，拉格朗日 Monge-Ampère 方程的 Dirichlet 问题是否具有唯一解？
• RQ4 拉格朗日全纯次调和函数与极小拉格朗日子流形上的次调和性有何关系？
• RQ5 是否存在类似于 Levi 问题的伪凸性几何表征？

主要发现

• 拉格朗日 Monge-Ampère 算子 $\mathrm{M}_{𝔵}(D^2u)$ 是 $𝔵^{2n}$ 上的齐次多项式，次数为 $2^n$，其几何表征为所有满足 $\mathrm{tr}(A|_W) \geq 0$ 的矩阵 $A$ 的集合，其中 $W$ 遍历所有拉格朗日 $n$-平面。
• 该算子仅依赖于 $\mathrm{tr}(A)$ 与反对称赫米特部分 $A^{\mathrm{skew}}$，且在加上迹为零的赫米特对称矩阵时保持不变。
• 该算子关于单位矩阵为 G {\i}rding 双曲型，从而产生 $N = 2^n$ 个嵌套的子方程 $\Lambda_k(D^2u) \geq 0$，每个子方程对应于方程的一个分支。
• 对于任意光滑有界区域 $\Omega \subset\subset \mathbb{C}^n$ 且边界为严格拉格朗日凸的情形，齐次 Dirichlet 问题 $\Lambda_k(D^2u) = 0$ 对每个 $k = 1, \dots, N$ 均有唯一解。
• 随着 $k$ 从 $N$ 减小至 $N/2$，边界凸性条件逐渐减弱，最弱的条件出现在 $k = N/2$。
• 在任意 Gromov 流形 $X$ 上，若存在一个光滑、 proper、严格拉格朗日全纯次调和的 exhaustion 函数，则 Dirichlet 问题在相同条件下可解。