[论文解读] Large Deviation Probabilities for Sums of Random Variables with Heavy or Subexponential Tails

Daren B. H. Cline, Tailen Hsing|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Probability and Risk ModelsDecision Sciences被引用 19

一句话总结

本文在 $ -\log(1-F(x)) $ 渐近慢变的条件下，建立了 i.i.d. 重尾或次指数尾随机变量和的罕见概率与 $ n(1-F(s)) $ 渐近等价的条件，扩展了先前结果，将这一行为与 $ -\log(1-F(x)) $ 的慢变性联系起来。关键贡献是通过截断和马尔可夫不等式实现统一处理，证明了次指数分布满足 $ \lim_{n\to\infty}\sup_{s\geq t_n}\left|\frac{P(S_n>s)}{n(1-F(s))}-1\right|=0 $，其中 $ t_n $ 适当选取，从而通过大偏差行为刻画了次指数性。

ABSTRACT

Let $S_n$ be the sum of independent random variables with distribution $F$. Under the assumption that $-\log(1-F(x))$ is slowly varying, conditions for $$ \lim_{n o\infty}\sup_{s\ge t_n}\left|{P[S_n>s]\over n(1-F(s))}-1 ight| =0 $$ are given. These conditions extend and strengthen a series of previous results. Additionally, a connection with subexponential distributions is demonstrated. That is, $F$ is subexponential if and only if the condition above holds for some $t_n$ and $$ \lim_{t o\infty}{1-F(t+x)\over 1-F(t)} = 1 \quad ext{for each real $x$.}$$

研究动机与目标

• 扩展并加强关于 i.i.d. 重尾或次指数尾随机变量和的大偏差概率的现有结果。
• 建立 $ \lim_{n\to\infty}\sup_{s\geq t_n}\left|\frac{P(S_n>s)}{n(1-F(s))}-1\right|=0 $ 成立的条件，确保和与最大值尾部概率的渐近等价性。
• 统一处理尾部满足 $ -\log(1-F(x)) $ 慢变的次指数分布，包括对数正态和柯西型分布。
• 证明 $ F $ 是次指数分布当且仅当对某序列 $ t_n $，上述极限条件成立，从而将次指数性与大偏差行为联系起来。

提出的方法

• 作者采用截断法结合马尔可夫不等式分析和 $ S_n $ 的尾部行为，重点关注生存函数 $ \overline{F}(x) = 1 - F(x) $。
• 通过将和分解为截断部分与尾部部分，分析 $ P(S_n > s) $ 的渐近行为，利用矩条件控制截断部分的贡献。
• 该方法依赖于假设 $ -\log(1-F(x)) $ 在 $ x \to \infty $ 时为慢变函数，这刻画了最重尾的次指数分布。
• 关键不等式涉及对 $ \mathbb{E}[e^{\lambda X} \mathbf{1}_{\{X \leq x\}}] $ 的控制，并利用慢变性质控制指数矩。
• 证明结构遵循一系列引理，分别建立对 $ \mu_1(s) $、$ \mu_2(s) $ 和 $ \eta(s) $ 的界，以控制中心化与方差项。
• 作者推导出 $ t_n $ 的充分条件，使得 $ \sup_{s \geq t_n} \left| \frac{P(S_n > s)}{n \overline{F}(s)} - 1 \right| \to 0 $，利用 $ \psi(s) = -\log \overline{F}(s) $ 及其导数之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，大偏差概率 $ P(S_n > s) $ 满足当 $ n \to \infty $ 时 $ \frac{P(S_n > s)}{n(1-F(s))} \to 1 $，且对所有 $ s \geq t_n $ 成立？
• RQ2 对于 $ -\log(1-F(x)) $ 慢变的次指数分布，如何刻画和的尾部与最大值尾部之间的渐近等价性？
• RQ3 慢变函数 $ \psi(x) = -\log(1-F(x)) $ 在决定大偏差概率收敛速率方面起什么作用？
• RQ4 能否为重尾次指数分布（如对数正态和柯西型）开发统一方法，利用截断与矩界？
• RQ5 次指数性是否等价于条件 $ \lim_{n\to\infty}\sup_{s\geq t_n}\left|\frac{P(S_n>s)}{n(1-F(s))}-1\right|=0 $ 对某序列 $ t_n $ 成立？

主要发现

• 本文证明，若 $ -\log(1-F(x)) $ 慢变且 $ t_n $ 满足 $ n(1-F(t_n)) \to 0 $，则 $ \lim_{n\to\infty}\sup_{s\geq t_n}\left|\frac{P(S_n>s)}{n(1-F(s))}-1\right|=0 $ 成立，扩展了先前结果。
• 对于满足对所有实数 $ x $ 有 $ \overline{F}(t+x)/\overline{F}(t) \to 1 $ 的次指数分布，条件 $ \limsup_{n\to\infty}\sup_{s\geq t_n}\frac{P(S_n>s)}{n\overline{F}(s)} \leq 1 $ 刻画了次指数性。
• 作者证明 $ F \in \mathcal{S} $ 当且仅当 (1.5) 成立，且存在某序列 $ t_n $ 使得上述上极限有界于 1。
• 对于尾部呈正则变型的分布，如 $ P(|X| > x) \sim x^{-\alpha} $，当 $ \alpha < 2 $ 时，结果在适当的中心化与矩条件下成立。
• 该方法对对数正态和柯西型尾部分布实现了非平凡的推广，此前这些分布未在统一框架下处理。
• 本文表明，当与稳定性条件 $ \overline{F}(t+x)/\overline{F}(t) \to 1 $ 结合时，条件 $ \lim_{n\to\infty}\sup_{s\geq t_n}\left|\frac{P(S_n>s)}{n(1-F(s))}-1\right|=0 $ 是次指数性的充要条件。