[论文解读] Large deviations and applications for Markovian Hawkes processes with a large initial intensity

Xuefeng Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用 3

一句话总结

本论文为初始强度较大的线性马尔可夫赫克斯过程建立了大偏差原理，推导出有限时间及初始强度与时间同时较大的联合 regimes 下的显式速率函数。通过样本路径大偏差与压缩原理，为具有聚集性、高密度到达的保险模型中的破产概率以及排队系统中的损失概率提供了精确的渐近近似。

ABSTRACT

Hawkes process is a class of simple point processes that is self-exciting and has clustering effect. The intensity of this point process depends on its entire past history. It has wide applications in finance, insurance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study linear Hawkes process with an exponential kernel in the asymptotic regime where the initial intensity of the Hawkes process is large. We establish large deviations for Hawkes processes in this regime as well as the regime when both the initial intensity and the time are large. We illustrate the strength of our results by discussing the applications to insurance and queueing systems.

研究动机与目标

• 分析当初始强度较大时，线性马尔可夫赫克斯过程的大偏差行为。
• 在初始强度与时间 $T$ 同时较大的情形下，推导计数过程 $N_T$ 的大偏差的显式速率函数。
• 将大偏差结果应用于具有自激发索赔到达的保险模型中，近似有限时域的破产概率。
• 利用理论框架估计具有赫克斯输入和高初始到达率的多服务器排队系统中的损失概率。
• 在与先前的函数大数定律和中心极限定理相同的渐近 regime 下，补充提供大偏差标度。

提出的方法

• 使用 $Z_t$ 满足 SDE $dZ_t = -\beta Z_t dt + \alpha dN_t$ 的马尔可夫表示法建模赫克斯过程，其中 $\lambda_t = \mu + Z_{t-}$。
• 通过将压缩原理应用于计数过程的路径 $h(t)$，建立过程 $N_t$ 的样本路径大偏差。
• 利用涉及强度路径及其动态的相对熵公式，推导速率函数 $I_N(h)$。
• 使用 $N_T$ 在 $Z_0 = n$ 条件下的矩生成函数，应用 Gärtner-Ellis 定理并验证必要光滑性。
• 证明 $N_T/n \in \cdot$ 的速率函数 $H(x;T)$ 由 $\inf_{h:h(T)=x} I_N(h)$ 给出，并通过求解非线性 ODE 展现其闭式表达。
• 将分析扩展至亚临界 ($\alpha < \beta$) 与超临界 ($\alpha \geq \beta$) 两种情形，显式刻画临界阈值 $\theta_d(T)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始强度 $Z_0 = n$ 趋于无穷大且时间 $T$ 固定时，线性马尔可夫赫克斯过程的大偏差速率函数是什么？
• RQ2 当初始强度 $n$ 与时间域 $T$ 同时趋于无穷大时，大偏差行为如何变化？
• RQ3 大偏差原理能否用于推导具有赫克斯分布索赔到达的保险模型中破产概率的渐近近似？
• RQ4 该理论框架是否可应用于估计具有赫克斯输入和高初始负载的多服务器排队系统中的损失概率？
• RQ5 在 $n$ 较大的情形下，归一化计数过程 $N_T/n$ 的速率函数 $H(x;T)$ 的显式形式是什么？

主要发现

• 对于 $N_T/n$，大偏差原理成立，其良好速率函数为 $H(x;T) = \inf_{h:h(T)=x} I_N(h)$，其中 $I_N(h)$ 由路径 $h$ 与强度动态之间的相对熵导出。
• 在超临界情形（$\alpha \geq \beta$）下，速率函数通过涉及 $C(t; \theta/\alpha)$ 的非线性 ODE 解来刻画，临界阈值 $\theta_d(T)$ 决定了矩生成函数的有限定义域。
• 极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{E}[e^{\theta N_T}] = C(T; \theta/\alpha) - \theta/\alpha$ 仅在 $\theta < \theta_d(T)$ 时为有限值，超过该阈值则发散。
• Gärtner-Ellis 定理的必要光滑性条件已得到验证，确保大偏差原理的有效性。
• 速率函数 $H(x;T)$ 被证明等价于 (2.9) 式中的表达式，从而通过 ODE 系统的解给出了其闭式表征。
• 在保险与排队系统中的应用，为高初始到达强度下的破产与损失概率提供了显式渐近近似。