[论文解读] Large deviations for random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|ArXiv.org|Sep 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 5

一句话总结

本论文建立了在 $\mathbb{Z}^d$ 上的随机环境中随机游走（RWRE）的大型偏差原理（LDP），分析了 quenched 与 averaged 行为。通过环境马氏链的经验测度证明了 quenched LDP，并推导出 quenched 速率函数的变分公式。在非嵌套或 Kalikow 条件下，averaged 速率函数严格凸且解析，作者确定了其最小化子。在高维（$d \geq 3+1$）下，quenched 与 averaged LDP 在一个具有非空内部的集合上一致，通过 Doob $h$-变换对环境链进行倾斜实现。

ABSTRACT

In this work, we study the large deviation properties of random walk in a random environment on $\mathbb{Z}^d$ with $d\geq1$. We start with the quenched case, take the point of view of the particle, and prove the large deviation principle (LDP) for the pair empirical measure of the environment Markov chain. By an appropriate contraction, we deduce the quenched LDP for the mean velocity of the particle and obtain a variational formula for the corresponding rate function $I_q$. We propose an Ansatz for the minimizer of this formula. This Ansatz is easily verified when $d=1$. In his 2003 paper, Varadhan proves the averaged LDP for the mean velocity and gives a variational formula for the corresponding rate function $I_a$. Under the non-nestling assumption (resp. Kalikow's condition), we show that $I_a$ is strictly convex and analytic on a non-empty open set $\mathcal{A}$, and that the true velocity $ξ_o$ is an element (resp. in the closure) of $\mathcal{A}$. We then identify the minimizer of Varadhan's variational formula at any $ξ\in\mathcal{A}$. For walks in high dimension, we believe that $I_a$ and $I_q$ agree on a set with non-empty interior. We prove this for space-time walks when the dimension is at least 3+1. In the latter case, we show that the cheapest way to condition the asymptotic mean velocity of the particle to be equal to any $ξ$ close to $ξ_o$ is to tilt the transition kernel of the environment Markov chain via a Doob $h$-transform.

研究动机与目标

• 在 quenched 测度下，建立随机环境中随机游走（RWRE）平均速度的大型偏差原理（LDP）。
• 通过环境马氏链的对偶经验测度，推导出 quenched 速率函数 $I_q$ 的变分公式。
• 分析 averaged LDP，并确定 averaged 速率函数 $I_a$ 严格凸且解析的条件。
• 研究 quenched 与 averaged LDP 之间的关系，特别是高维情形下的关系。
• 在非嵌套或 Kalikow 条件下，确定 Varadhan 变分公式中 $I_a$ 最小化子。

提出的方法

• 使用对数矩生成函数和压缩原理，证明在 quenched 测度下，环境马氏链的对偶经验测度满足 LDP。
• 通过在环境马氏链的不变测度上取最小化，推导出 quenched 速率函数 $I_q$ 的变分公式。
• 提出 $I_q$ 最小化子的 Ansatz，并在一维情形下显式验证。
• 在非嵌套或 Kalikow 条件下，证明 averaged 速率函数 $I_a$ 在一个非空开集 $\mathcal{A}$ 上严格凸且解析。
• 通过环境马氏链的 Doob $h$-变换，确定在任意 $\xi \in \mathcal{A}$ 处，Varadhan 变分公式中 $I_a$ 最小化子。
• 通过证明在 quenched 测度下，环境链是原链的 Doob $h$-变换，建立空间-时间 RWRE 在维度 $d \geq 3+1$ 下 quenched 与 averaged LDP 的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，RWRE 平均速度的 quenched LDP 成立，其速率函数的结构如何？
• RQ2 在高维下，quenched 速率函数 $I_q$ 与 averaged 速率函数 $I_a$ 有何关系？
• RQ3 在何种条件下，averaged 速率函数 $I_a$ 严格凸且解析，且真实速度 $\xi_o$ 相对于解析域位于何处？
• RQ4 Varadhan 变分公式中 $I_a$ 的最小化子是什么，其特征如何？
• RQ5 在空间-时间设定下，quenched 与 averaged LDP 在何种条件下一致？

主要发现

• 通过环境马氏链对偶经验测度的 LDP，确立了 RWRE 平均速度的 quenched LDP。
• 推导出 quenched 速率函数 $I_q$ 的变分公式，提出了最小化子的 Ansatz，并在一维情形下得到显式验证。
• 在非嵌套假设或 Kalikow 条件下，averaged 速率函数 $I_a$ 在一个非空开集 $\mathcal{A}$ 上严格凸且解析，且 $\xi_o \in \mathcal{A}$ 或其闭包中。
• Varadhan 变分公式中 $I_a$ 的最小化子被识别为通过环境马氏链的 Doob $h$-变换得到的不变测度。
• 对于维度 $d \geq 3+1$ 的空间-时间 RWRE，quenched 与 averaged LDP 在一个具有非空内部的集合上等价，且在 quenched 测度下，环境链是原链的 Doob $h$-变换。
• quenched 不变量测度 $\mu_\xi^\infty$ 的边缘测度 $\mu_\xi^1$ 在每个 $\mathcal{B}_{-N}^+$ 上关于 $\mathbb{P}$ 绝对连续，确认了 $h$-变换结构。