[论文解读] Large deviations from a stationary measure for a class of dissipative PDE's with random kicks

Vojkan Jakšić, Vahagn Nersesyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文為由耗散PDE（如二维Navier-Stokes方程）受有界且非退化随机冲击扰动所生成的马尔可夫过程的占时测度建立了大偏差原理（LDP）。通过应用Kifer准则、Lyapunov-Schmidt约化方法以及广义马尔可夫半群的渐近分析，作者证明了时间平均经验测度满足一个LDP，其良好速率函数仅在概率测度空间的紧子集上有限，从而刻画了相对于平稳测度发生一阶偏差的罕见事件。

ABSTRACT

We study a class of dissipative PDE's perturbed by a bounded random kick force. It is assumed that the random force is non-degenerate, so that the Markov process obtained by the restriction of solutions to integer times has a unique stationary measure. The main result of the paper is a large deviation principle for occupation measures of the Markov process in question. The proof is based on Kifer's large deviation criterion, a Lyapunov-Schmidt type reduction, and an abstract result on large-time asymptotic for generalised Markov semigroups.

研究动机与目标

• 为由具有随机冲击力的耗散PDE生成的马尔可夫过程的占时测度建立大偏差原理（LDP）
• 刻画时间平均经验测度偏离唯一平稳测度的大偏差概率的指数衰减速率
• 将对随机PDE中罕见事件的理解从中心极限定理和迭代对数律扩展至一阶偏差情形
• 为如二维Navier-Stokes方程和Ginzburg-Landau方程等系统建立一个适用于非退化随机驱动力的通用框架

提出的方法

• 应用Kifer的大偏差准则，将LDP问题转化为广义马尔可夫半群的长时间渐近行为分析
• 采用Lyapunov-Schmidt型约化方法，简化有限维投影中的动力学，从而实现对半群行为的控制
• 为马尔可夫过程引入一致Feller性质，以保证转移概率的正则性与收敛性
• 通过概率测度空间上的逆极限拓扑，构造有限维LDP的投影极限
• 通过取有限维近似极限并验证指数等价性，证明全无限维系统的LDP
• 利用Dawson-Gärtner定理，将有限维投影上的LDP提升至全路径空间的概率测度空间

实验结果

研究问题

• RQ1 对于随机驱动的耗散PDE解的时间平均经验测度，其偏离平稳测度一阶偏差的概率衰减速率如何？
• RQ2 能否为具有有界随机冲击力的耗散PDE生成的马尔可夫过程的占时测度建立大偏差原理？
• RQ3 随机驱动力的结构（非退化、有界、i.i.d.冲击）如何影响平稳测度的存在唯一性以及LDP速率函数？
• RQ4 在多大程度上，可通过有限维投影上的LDP推导出全无限维系统的LDP？

主要发现

• 该马尔可夫过程的占时测度满足一个大偏差原理，其速率函数为良好函数，且仅在概率测度空间的紧子集上有限
• 速率函数可表征为有限维投影上的上确界，形式为 $ I(\boldsymbol{\sigma}) = \sup_{m \geq 1} I_m(\boldsymbol{\sigma} \circ p_m^{-1}) $，确保了下半连续性与紧水平集
• LDP对初始条件一致成立，且在Kantorovich-Wasserstein度量下收敛速度为指数级
• 该结果适用于在非退化随机冲击驱动下具有有界 $ L^2 $-范数的二维Navier-Stokes系统与Ginzburg-Landau方程
• 证明通过投影极限方法实现，借助Dawson-Gärtner定理以及各投影之间测度的统一指数等价性