[论文解读] Large N non-perturbative effects in $\mathcal{N}=4$ superconformal Chern-Simons theories

Yasuyuki Hatsuda, Masazumi Honda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用 12

一句话总结

本文利用超对称局部化与费米气体形式，研究了在 $N=4$ 超共形 Chern-Simons 理论中大 $N$ 的非微扰效应。在双参数变形的 ABJM 类模型中，推导出膜瞬子修正的解析表达式以及精确的世界膜瞬子贡献，揭示了与原始 ABJM 理论不同的非微扰结构。

ABSTRACT

We investigate the large $N$ instanton effects of partition functions in a class of $\mathcal{N}=4$ circular quiver Chern-Simons theories on a three-sphere. Our analysis is based on the supersymmetry localization and the Fermi-gas formalism. The resulting matrix model can be regarded as a two-parameter deformation of the ABJM matrix model, and has richer non-perturbative structures. Based on a systematic semi-classical analysis, we find analytic expressions of membrane instanton corrections. We also exactly compute the partition function for various cases and find some exact forms of worldsheet instanton corrections, which appear as quantum mechanical non-perturbative corrections in the Fermi-gas system.

研究动机与目标

• 理解超越 ABJM 模型的 $\nN=4$ 超共形 Chern-Simons 理论中的非微扰效应。
• 研究在 ABJM 矩阵模型的双参数变形下，非微扰瞬子结构（膜瞬子与世界膜瞬子）的行为。
• 利用精确有限-$N$ 范围函数计算，推导膜瞬子修正的解析形式与精确的世界膜瞬子贡献。
• 探讨瞬子束缚态的作用以及在变形模型中大势能的结构。

提出的方法

• 利用超对称局部化将 $S^3$ 上 $(p,q)$-模型的划分函数简化为矩阵模型。
• 应用费米气体形式，将矩阵模型映射为具有有效哈密顿量与划分函数的量子力学系统。
• 进行系统的半经典分析，从小 $\bar{\hbar}$-展开中提取膜瞬子修正。
• 通过有限-$N$ 划分函数的精确计算，利用数值拟合识别世界膜瞬子修正。
• 利用特殊函数（包括伽马函数与超几何函数）推导瞬子系数的解析表达式。
• 通过取超几何函数的适当极限并与精确结果匹配，推测并验证 1-瞬子系数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(p,q)$-模型中的膜瞬子修正与 ABJM 理论中的有何不同？
• RQ2 在变形的 $\nN=4$ Chern-Simons 理论中，世界膜瞬子修正的解析结构是什么？
• RQ3 在该双参数模型的大 $N$ 极限下，大势能中的非微扰贡献如何表现？
• RQ4 能否从精确有限-$N$ 结果中解析推导出膜瞬子与世界膜瞬子的 1-瞬子系数？
• RQ5 瞬子束缚态在划分函数的非微扰结构中起什么作用？

主要发现

• $(p,q)$-模型中的膜瞬子修正以涉及 $q$ 的伽马函数的解析函数形式表达，与 ABJM 理论中的 Gopakumar-Vafa 型公式不同。
• 对于 $(p,q,k)=(1,q,2)$ 情况，非微扰大势能包含与 $e^{-2m\bar{\mu}/q}$ 成比例的项，且 $\bar{\mu}$ 的多项式系数存在，1-瞬子系数 $b_1(q)$ 推导为 $-1/(2\bar{\pi}^2) × \Gamma^2(-q)/[\cos(\pi q)\Gamma(-2q)]$。
• 通过拟合有限-$N$ 划分函数，发现精确的世界膜瞬子修正，结果与形式 $J_{\text{np}}(\mu,1) = 16e^{-\mu/4} + \cdots$ 一致，适用于 $(p,q)=(4,4)$。
• 只有在对 $γ_1(q,k)$ 表达式中的超几何函数进行重写后再取 $k\to 2$ 极限时，1-瞬子系数 $b_1(q)$ 才能被正确重现。
• 对于 $(p,q)=(4,6)$，非微扰大势能包含如 $16\sqrt{3}e^{-\mu/6} + \left[\frac{4(\mu+3)}{\sqrt{3}\pi} - 50\right]e^{-\mu/3}$ 的项，证实了其对 $μ$ 的多项式依赖性。
• 该模型展现出比 ABJM 更丰富的非微扰结构，包括不同的膜瞬子系数与原始理论中不存在的新世界膜瞬子贡献。