[论文解读] Lattice models from CFT on surfaces with holes I: Torus partition function via two lattice cells

Enrico M. Brehm, Ingo Runkel|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2021

Quantum many-body systems参考文献 60被引用 6

一句话总结

本文通过开放通道分解和截断三角形单元，从具有孔洞的环面上的二维有理共形场论（CFT）构造了一个单参数族的晶格模型。该参数为孔洞半径，其作用是抑制高能态，从而得到一个有限模型：在孔洞半径趋于零的极限下，该模型恢复为精确的CFT振幅；在孔洞相互接触的极限下，该模型退化为拓扑场论。一个关键贡献是通过一种新颖的‘掩蔽边界条件’，精确实现了CFT中完整的拓扑弦缺陷融合范畴。

ABSTRACT

We construct a one-parameter family of lattice models starting from a two-dimensional rational conformal field theory on a torus with a regular lattice of holes, each of which is equipped with a conformal boundary condition. The lattice model is obtained by cutting the surface into triangles with clipped-off edges using open channel factorisation. The parameter is given by the hole radius. At finite radius, high energy states are suppressed and the model is effectively finite. In the zero-radius limit, it recovers the CFT amplitude exactly. In the touching hole limit, one obtains a topological field theory. If one chooses a special conformal boundary condition which we call "cloaking boundary condition", then for each value of the radius the fusion category of topological line defects of the CFT is contained in the lattice model. The fact that the full topological symmetry of the initial CFT is realised exactly is a key feature of our lattice models. We provide an explicit recursive procedure to evaluate the interaction vertex on arbitrary states. As an example, we study the lattice model obtained from the Ising CFT on a torus with one hole, decomposed into two lattice cells. We numerically compare the truncated lattice model to the CFT expression obtained from expanding the boundary state in terms of the hole radius and we find good agreement at intermediate values of the radius.

研究动机与目标

• 从具有孔洞的二维有理CFT在环面上构造一个有限的、参数化的晶格模型。
• 确保晶格模型中保留原始CFT的完整拓扑对称性（即融合范畴）。
• 提供一种递归程序，用于计算任意态上的相互作用顶点。
• 证明晶格模型在孔洞半径趋于零的极限下收敛于CFT振幅，在孔洞接触的极限下收敛于拓扑场论。
• 通过将一个孔洞分解为两个晶格单元的伊辛CFT进行数值验证。

提出的方法

• 通过开放通道分解，将带有孔洞的环面切割为截断三角形，从而构建晶格模型。
• 孔洞半径作为连续参数，充当高能截断，抑制紫外模式。
• 引入一种特殊的‘掩蔽边界条件’，以确保CFT中完整的拓扑弦缺陷融合范畴被精确嵌入晶格模型中。
• 利用单值化映射和超几何函数在截断三角形上递归计算相互作用顶点。
• 在闭通道和开通道中分别计算环面的划分函数，其中开通道通过中间共形块的态求和实现。
• 通过莫比乌斯变换和超几何函数显式推导出单值化映射（例如 G₀, ψ₀）的表达式，从而实现在截断三角形上的相关函数计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从具有孔洞的曲面上的二维有理CFT构造出一个有限晶格模型，同时保持其完整的拓扑对称性？
• RQ2 孔洞半径在调节紫外发散以及在CFT与拓扑场论之间插值的过程中起什么作用？
• RQ3 如何构造一种边界条件，使得CFT的完整融合范畴能在晶格模型中被精确实现？
• RQ4 即使仅使用有限个晶格单元，该晶格模型是否也能在孔洞半径趋于零的极限下重现精确的CFT振幅？
• RQ5 当与CFT结果比较时，该模型在数值上表现如何，特别是在一个孔洞的伊辛CFT情形下？

主要发现

• 采用掩蔽边界条件的晶格模型精确实现了底层CFT中拓扑弦缺陷的完整融合范畴。
• 在孔洞半径趋于零的极限下，即使仅使用两个晶格单元，该晶格模型也能精确重现CFT振幅。
• 在孔洞接触的极限下，模型退化为拓扑场论，证实其在红外区的拓扑本质。
• 在伊辛CFT中的数值比较显示，截断后的晶格模型与通过边界态展开获得的CFT结果在中间孔洞半径下具有良好的一致性。
• 利用单值化技术与超几何函数，显式构建并验证了用于计算任意态上相互作用顶点的递归程序。
• 推导出的单值化映射 ψ₀(z) 与 (6.15) 式中的已知形式一致，证实了其与截断三角形上共形场论的一致性。