[论文解读] Lattices, injective metrics and the $K(π,1)$ conjecture

Thomas Haettel|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2021

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

该论文证明了在类型为 $\widetilde{A_n}$、$\widetilde{C_n}$、$\widetilde{B_n}$ 和 $\widetilde{D_n}$ 的欧几里得建筑物与德利涅复形上，$ι^\infty$-度量是内射的，且其加厚图是赫利图。通过在具有 $Ω$-作用的格上使用一般构造，论文证明了加尔西德群与 FC 型 Artin 群作用在内射度量空间上，从而给出了 $K(\pi,1)$ 猜想的度量证明，并获得了关于双组合、抛物子群与固定点子群的新结果。

ABSTRACT

Starting with a lattice with an action of $\mathbb{Z}$ or $\mathbb{R}$, we build a Helly graph or an injective metric space. We deduce that the $\ell^\infty$ orthoscheme complex of any bounded graded lattice is injective. We also prove a Cartan-Hadamard result for locally injective metric spaces. We apply this to show that any Garside group or any FC type Artin group acts on an injective metric space and on a Helly graph. We also deduce that the natural piecewise $\ell^\infty$ metric on any Euclidean building of type $ ilde{A_n}$ extended, $ ilde{B_n}$, $ ilde{C_n}$ or $ ilde{D_n}$ is injective, and its thickening is a Helly graph. Concerning Artin groups of Euclidean types $ ilde{A_n}$ and $ ilde{C_n}$, we show that the natural piecewise $\ell^\infty$ metric on the Deligne complex is injective, the thickening is a Helly graph, and it admits a convex bicombing. This gives a metric proof of the $K(π,1)$ conjecture, as well as several other consequences usually known when the Deligne complex has a CAT(0) metric.

研究动机与目标

• 开发一种从具有 $Ω$-作用的格构造内射度量空间与赫利图的一般方法。
• 证明类型为 $\widetilde{A_n}$、$\widetilde{B_n}$、$\widetilde{C_n}$ 与 $\widetilde{D_n}$ 的欧几里得建筑物上的 $ι^\infty$-度量是内射的。
• 证明类型为 $\widetilde{A_n}$ 与 $\widetilde{C_n}$ 的欧几里得 Artin 群的德利涅复形具有凸性、一致性和 $A$-等变的双组合。
• 通过度量方法确立这些 Artin 群的 $K(\pi,1)$ 猜想。

提出的方法

• 在格 $L$ 上构造度量 $d(x,y) = \inf\{t \in H_+ \mid f_{-t}(x) \leq y \leq f_t(x)\}$，其中 $H = \mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{R}$ 作用于格上，且 $f_t$ 是连续递增的 $H$-作用。
• 证明当 $H = \mathbb{Z}$ 时，该度量生成赫利图；当 $H = \mathbb{R}$ 时，生成内射度量空间，前提是上界集具有上确界。
• 将该构造应用于欧几里得建筑物的平面格与 Artin 群中抛物子群的偏序集。
• 证明类型为 $\widetilde{A_n}$ 与 $\widetilde{C_n}$ 的德利涅复形上的自然分段 $\ell^\infty$-度量是内射的，并具有凸性、一致性和 $A$-等变的测地双组合。
• 利用此类双组合的存在性，推导出德利涅复形的可缩性，从而验证 $K(\pi,1)$ 猜想。
• 通过利用 $A$-等变双组合与子复形的 $σ$-稳定性，将关于抛物子群、中心化子与固定点子群的结果进行推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用内射度量几何而非 CAT(0) 几何来证明欧几里得 Artin 群的 $K(\pi,1)$ 猜想？
• RQ2 类型为 $\widetilde{A_n}$、$\widetilde{B_n}$、$\widetilde{C_n}$ 与 $\widetilde{D_n}$ 的欧几里得建筑物上的自然分段 $\ell^\infty$-度量是否为内射的？
• RQ3 类型为 $\widetilde{A_n}$ 与 $\widetilde{C_n}$ 的欧几里得 Artin 群的德利涅复形是否具有凸性、一致性和 $A$-等变的测地双组合？
• RQ4 能否利用德利涅复形上凸双组合的存在性，将关于 Artin 群的抛物子群、中心化子与固定点子群的结果进行推广？
• RQ5 在加尔西德群与 Artin 群的背景下，赫利性质、内射度量与群作用之间有何关系？

主要发现

• 任意类型为 $\widetilde{A_n}$、$\widetilde{B_n}$、$\widetilde{C_n}$ 或 $\widetilde{D_n}$ 的欧几里得建筑物上的自然分段 $\ell^\infty$-度量是内射的。
• 此类建筑物的顶点集的加厚图是赫利图。
• 类型为 $\widetilde{A_n}$ 或 $\widetilde{C_n}$ 的欧几里得 Artin 群的德利涅复形具有凸性、一致性和 $A$-等变的测地双组合。
• 德利涅复形是可缩的，从而为这些群提供了 $K(\pi,1)$ 猜想的度量证明。
• 这些 Artin 群中任意一族抛物子群的交集本身也是一个抛物子群。
• 对 Artin 系统的对称作用的固定点子群同构于低秩的 Artin 群，推广了 Digne 与 Crisp 的结果。