[论文解读] Lattices, interpolation, and set theory

Martin Goldstern|ArXiv.org|Apr 8, 2000

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究格理论、单调函数与集合论方法之间的相互作用，证明由于基数和余正规性约束，不存在无限格是序多项式完备的。文章引入σ-多项式作为多项式在无限格中插值单调函数的推广，并证明任一正交格上的每个函数均可在更大的正交格中由正交多项式表示，从而在代数结构与集合论构造技术之间建立了紧密联系。

ABSTRACT

We review a few results concerning interpolation of monotone functions on infinite lattices, emphasizing the role of set-theoretic considerations. We also discuss a few open problems.

研究动机与目标

• 理解在无限格上单调函数代数表示的局限性。
• 研究无限格上的单调函数是否可用多项式表示，若不能，则需要何种推广。
• 探讨集合论概念（尤其是基数和余正规性）在格理论代数问题中的作用。
• 通过超限构造将插值结果从格推广到正交格。
• 刻画所有单调函数均可由σ-多项式表示的格的性质。

提出的方法

• 利用基数论证证明无限格上单调函数的数量超过多项式数量，从而证明不存在无限格是序多项式完备的。
• 引入σ-多项式作为在递增有限子格上多项式序列的极限，实现对单调函数的插值。
• 采用超限迭代与格扩张技术，将给定格嵌入更大的格中，使得插值成为可能。
• 通过迭代扩展格以包含任意函数的多项式表示，构造具有σ-IP的正交格。
• 应用反链与单调扩张的概念，构建支持函数插值的中间结构。
• 利用任意从子格到完全子格的单调函数均可通过上确界扩展的事实，实现递归构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在所有单调函数均可由多项式表示的无限格？
• RQ2 是否可使用多项式的广义概念（如σ-多项式）对无限格上的单调函数进行插值？
• RQ3 集合论概念（如基数和余正规性）在决定格上单调函数可表示性方面起什么作用？
• RQ4 任一正交格上的函数是否都可在其某个扩张中由正交多项式表示？
• RQ5 格具有σ-IP（即所有函数均可由σ-多项式插值）的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 由于基数约束，不存在无限序多项式完备（o.p.c.）格，因为单调函数的数量超过多项式数量。
• 对于任意格L及单调函数f: L → L，只要格是通过递增多项式表示能力的有限子格极限构建的，则存在一个与f在L上一致的σ-多项式。
• 任一格上的函数均可在合适的扩张格中由σ-多项式表示，表明σ-多项式提供了一种通用的插值机制。
• 任一正交格均可嵌入一个具有σ-IP的更大正交格中，意味着原格上的每个函数在扩张中均可由正交多项式表示。
• 此类扩张的构造依赖于超限迭代与利用反链编码任意函数，表明集合论方法对解决某些代数插值问题至关重要。
• 存在所有单调函数均可由σ-多项式表示的格，暗示了一类结构丰富但其基数与闭包性质仍有待完全刻画的格类。