[论文解读] Physics-informed deep learning for flow and deformation in poroelastic media

Yared W. Bekele|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文提出一种物理信息深度神经网络（PINN），通过将多孔弹性理论中的控制偏微分方程（PDE）——质量守恒方程和平衡方程——嵌入损失函数，以求解多孔弹性介质中的耦合渗流与变形问题。该模型在预测水平和垂直变形方面表现出高精度，L2误差分别为3.826×10⁻²和5.263×10⁻²，但孔隙压力预测精度较低（L2误差：8.071×10⁻²），原因在于数据稀疏性。

ABSTRACT

A physics-informed neural network is presented for poroelastic problems with coupled flow and deformation processes. The governing equilibrium and mass balance equations are discussed and specific derivations for two-dimensional cases are presented. A fully-connected deep neural network is used for training. Barry and Mercer's source problem with time-dependent fluid injection/extraction in an idealized poroelastic medium, which has an exact analytical solution, is used as a numerical example. A random sample from the analytical solution is used as training data and the performance of the model is tested by predicting the solution on the entire domain after training. The deep learning model predicts the horizontal and vertical deformations well while the error in the predicted pore pressure predictions is slightly higher because of the sparsity of the pore pressure values.

研究动机与目标

• 开发一种用于多孔弹性介质中耦合渗流与变形问题的物理信息神经网络（PINN）。
• 将多孔弹性理论的控制PDE——质量守恒方程和平衡方程——作为约束条件整合进深度学习框架。
• 在具有精确解析解的基准问题上评估模型性能。
• 评估稀疏孔隙压力数据对预测精度和模型泛化能力的影响。
• 展示PINN在地质力学和多孔介质中复杂多物理场问题中的可行性。

提出的方法

• 采用数据驱动损失与基于控制PDE的物理损失相结合的方式训练全连接深度神经网络。
• 对二维多孔弹性问题中各向同性、不可压缩材料的控制方程进行无量纲化处理。
• 通过自动微分将达西定律和线弹性应力-应变关系纳入模型，以计算残差损失。
• 总损失函数结合了位移和孔隙压力预测的均方误差（MSE），以及PDE残差的MSE。
• 使用Barry和Mercer问题的解析解进行随机采样，作为训练数据。
• 通过超参数调优实现偏差与方差的平衡，优化模型对训练数据的拟合程度与物理约束满足程度之间的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅使用稀疏训练数据的情况下，物理信息深度学习能否有效模拟多孔弹性介质中耦合渗流与变形？
• RQ2 孔隙压力数据的稀疏性如何影响PINN在多孔弹性问题中的预测精度？
• RQ3 在缺乏密集观测数据的情况下，PDE残差在多大程度上有助于提升模型的泛化能力与预测精度？
• RQ4 当孔隙压力预测精度较低时，PINN能否仍实现高精度的变形预测？
• RQ5 在多物理场设置下，使用单一神经网络同时预测多个场变量（位移与压力）会产生何种影响？

主要发现

• 模型对水平和垂直变形的预测具有高精度，L2误差范数分别为3.826×10⁻²和5.263×10⁻²。
• 由于孔隙压力值在域内分布稀疏，孔隙压力预测的误差较高（L2范数：8.071×10⁻²）。
• 尽管孔隙压力误差较大，预测的变形仍保持高精度，原因在于训练过程中PDE约束得到了良好满足。
• 损失函数的景观显示了良好的偏差-方差权衡，表明训练过程稳定且具备良好泛化能力。
• 研究证实，即使训练数据有限，物理约束也能显著提升模型的泛化性能。
• 本研究验证了PINN在无需密集观测数据的前提下，可有效求解复杂的多孔弹性问题，前提是PDE被正确嵌入模型。