[论文解读] Learning Potentials of Quantum Systems using Deep Neural Networks

Arijit Sehanobish, Héctor H. Corzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Machine Learning in Materials Science参考文献 74被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种量子势能神经网络（QPNN），通过无监督方式利用深度神经网络从概率分布中学习量子势能函数。该方法结合Wigner–Moyal方程与逆量子力学，实现了高精度的势能重构——对于Pöschl–Teller势能函数的均方根误差（RMSE）低于10⁻⁴，展示了从有限可观测量中高效重建哈密顿量的潜力。

ABSTRACT

Attempts to apply Neural Networks (NN) to a wide range of research problems have been ubiquitous and plentiful in recent literature. Particularly, the use of deep NNs for understanding complex physical and chemical phenomena has opened a new niche of science where the analysis tools from Machine Learning (ML) are combined with the computational concepts of the natural sciences. Reports from this unification of ML have presented evidence that NNs can learn classical Hamiltonian mechanics. This application of NNs to classical physics and its results motivate the following question: Can NNs be endowed with inductive biases through observation as means to provide insights into quantum phenomena? In this work, this question is addressed by investigating possible approximations for reconstructing the Hamiltonian of a quantum system in an unsupervised manner by using only limited information obtained from the system's probability distribution.

研究动机与目标

• 开发一种从有限可观测量中重构量子势能函数的方法，而无需事先了解系统的哈密顿量。
• 通过神经网络以无监督方式求解逆薛定谔方程，应对逆量子力学的挑战。
• 仅利用波函数或Wigner函数的部分信息，实现对复杂量子系统的有效哈密顿量构建。
• 探究深度神经网络是否能通过观察概率分布学习到对量子现象的归纳偏置。

提出的方法

• QPNN是一个包含残差连接的四层前馈神经网络，通过将空间坐标映射到势能函数，以概率分布作为输入进行训练。
• 该方法利用Wigner–Moyal方程建模量子相空间动力学，并通过截断展开近似无限阶偏微分方程（PDE）。
• 网络在无监督设置下进行训练，使用波函数或Wigner准概率分布作为监督信号。
• 在输出层应用不同的激活函数和缩放策略，以提升泛化能力并避免陷入局部极小值。
• 训练数据由系统定义域内随机采样的空间点构成，每轮实验使用32的批量大小和1000个训练周期。
• 该方法在多种量子系统上进行了验证，包括谐振子、Pöschl–Teller势、类氢原子和孤子态，使用真实分布与Wigner分布数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络能否在不显式知晓哈密顿量的情况下，仅从概率分布中重构出量子系统的势能函数？
• RQ2 仅使用波函数或Wigner函数等可观测量，神经网络在多大程度上能近似求解薛定谔方程的逆问题？
• RQ3 架构选择（如激活函数和残差连接）对网络在不同量子系统间泛化能力有何影响？
• RQ4 QPNN在复杂或非解析势能系统（如Pöschl–Teller势或径向类氢势）上的泛化能力如何？
• RQ5 QPNN能否从非正定且数学上具有挑战性的Wigner准概率分布中学习势能？

主要发现

• 对于Pöschl–Teller势能函数，QPNN在真实势能与学习到的势能之间实现了1.0×10⁻⁴ ± 6.0×10⁻⁵的均方根误差（RMSE），表明重构精度极高。
• 对于径向类氢原子，模型在势能重构中实现了3.0×10⁻⁴ ± 8.0×10⁻⁵的RMSE，证明其在具有奇点的系统中仍具鲁棒性。
• 对于谐振子，模型在势能重构中实现了1.1×10⁻¹ ± 5.0×10⁻²的RMSE，能量预测误差为1.0×10⁻¹ ± 2.0×10⁻²。
• 对于二维谐振子，势能和能量的RMSE分别为3.0×10⁻³ ± 9.0×10⁻⁴和4.0×10⁻³ ± 8.0×10⁻⁴，表明在不同维度下性能一致。
• 在无限深势阱系统中，模型表现较差（RMSE = 4.3×10⁻¹ ± 6.0×10⁻²），可能由于势能的不连续性和波函数的非光滑性所致。
• 当在Wigner函数上进行训练时，QPNN在谐振子势能上的RMSE为4.0×10⁻³ ± 8.0×10⁻⁵，证实了从相空间分布中学习的可行性。