[论文解读] Least action principles for incompressible flows and geodesics between shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文通过最小作用量原理，建立了不可压缩流体流动与形状空间上测地线之间的几何联系，表明极小化路径对应于压强和表面张力为零的势流。关键结果为作用量的下确界等于Wasserstein距离的平方；尽管由于微小液滴不稳定性，经典测地线在大多数情况下不存在，但弱解作为不可压缩Euler喷射的极限出现，并最小化一个松弛的两相流混合作用量原理。

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to have characteristic-function densities. The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

研究动机与目标

• 在Eulerian框架下，利用最小作用量原理，形式化不可压缩流体流动与形状空间上测地线之间的联系。
• 分析由于微小液滴形成不稳定性，导致特征函数密度的作用量最小化问题不适定的原因。
• 将作用量的下确界（形状距离）与Wasserstein距离关联，并将弱解表征为不可压缩Euler喷射的极限。
• 通过松弛至两相流混合模型，建立极小化解的存在性，并证明其与Wasserstein测地线问题的等价性。
• 证明即使经典不可压缩解不存在，Wasserstein测地线仍是松弛最小作用量原理的唯一极小化解。

提出的方法

• 将作用量表述为时间上积分的动能，约束于具有表示流体形状的特征函数密度的路径。
• 推导测地线方程，其对应于自由边界上压强和表面张力为零的不可压缩、无粘性势流的Euler方程。
• 应用Benamou-Brenier框架，证明作用量的下确界等于等体积形状之间平方Wasserstein距离。
• 引入基于两相流混合模型的松弛最小作用量原理，允许密度可变，从而保证极小化解的存在性。
• 利用Fenchel-Rockafellar对偶性和Legendre变换，证明在松弛设定下极小化解的存在性，并将其与弱解关联。
• 证明Wasserstein测地线作为不可压缩Euler喷射的弱极限出现，并且是松弛作用量的唯一极小化解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在具有特征函数密度的Eulerian框架下，为形状之间不可压缩流体流动的最小作用量原理进行形式化？
• RQ2 为何在大于一维的情况下，作用量最小化问题无法达到其下确界？
• RQ3 作用量的下确界与等体积形状之间Wasserstein距离有何关联？
• RQ4 不可压缩Euler方程的弱解是否可作为不可压缩Euler喷射的极限被恢复？
• RQ5 是否存在一个松弛的最小作用量原理，即使在经典解不存在时，也能使Wasserstein测地线成为极小化解？

主要发现

• 在大于一维的情况下，等体积形状之间不可压缩流体流动的作用量下确界等于平方Wasserstein距离，且几乎从不被实现。
• 由最小作用量原理导出的测地线方程对应于自由边界上压强和表面张力为零的不可压缩、无粘性势流的Euler方程。
• 微小液滴的形成引起不稳定性，导致在d > 1时一般不存在经典测地线，但Euler喷射构造允许近似连接任意两个等体积形状。
• 所有具有紧支集密度的Wasserstein测地线均作为不可压缩Euler喷射的弱极限出现。
• Wasserstein测地线是两相流混合模型松弛最小作用量原理的唯一极小化解，其中一相为不可压缩流体，另一相为真空。
• 通过Fenchel-Rockafellar对偶性，松弛问题存在极小化解，且松弛作用量的下确界与原始问题相同，即使经典解不存在。