[论文解读] Lectures on quasi-invariants of Coxeter groups and the Cherednik algebra

Pavel Etingof, Elisabetta Strickland|ArXiv.org|Apr 9, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文为有限考克斯eter群的拟不变量理论提供了易于理解的导论，将其与有理谢雷德尼克代数及可积系统联系起来。文章证明了拟不变量环 $ Q_m $ 是科恩-麦克aul伊与格伦斯坦的，并通过谢雷德尼克代数的表示理论与奇异概形 $ X_m $ 上的微分算子，证明了其关于不变量 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 的自由性。其主要贡献在于在 $ Q_m $ 上构造了唯一的 $ eH_m e $-模结构，从而揭示了深刻的几何与代数性质。

ABSTRACT

The paper an elementary introduction for non-specialists to the theory of quasi-invariants of Coxeter groups. The main object of study is the variety X_m of quasi-invariants for a finite Coxeter group, which arose in a work of O.Chalykh and A.Veselov about 10 years ago, as the spectral variety of the quantum Calogero-Moser system. Despite being singular, this variety has very nice properties (Cohen-Macaulay, Gorenstein, simplicity of the ring of differential operators, explicitly given Hilbert series). It is interesting that although the definition of X_m is completely elementary, to understand the geometry of X_m it is helpful to use representation theory of the rational degeneration of Cherednik's double affine Hecke algebra, and the theory of integrable systems.

研究动机与目标

• 为非专业读者提供一个自包含、基础性的有限考克斯eter群拟不变量理论导论。
• 建立 $ X_m $（即 $ m $-拟不变量环的谱）的奇异概形的基本几何性质，包括科恩-麦克aul伊与格伦斯坦性质。
• 通过表示理论与微分算子，将 $ Q_m $ 的代数结构与有理谢雷德尼克代数及可积系统联系起来。
• 利用谢雷德尼克代数的作用与 $ \mathcal{O} $-范畴技巧，证明 $ Q_m $ 是 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 上的自由模。

提出的方法

• 将 $ m $-拟不变量定义为满足：对每个反射 $ s \in \Sigma $，有 $ q(x) - q(sx) $ 被 $ \alpha_s(x)^{2m_s+1} $ 整除的多项式 $ q \in \mathbb{C}[\mathfrak{h}] $。
• 利用 Baker-Akhieser 函数与可积系统，说明拟不变量作为量子 Calogero-Moser 系统的谱流形自然出现。
• 发展有理谢雷德尼克代数 $ H_c $ 的理论，重点关注子代数 $ eH_c e $ 及其在 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 上的作用。
• 在 $ Q_m $ 上构造 $ eH_m e $ 的唯一表示，其中 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 通过乘法作用，$ \mathbb{C}[\mathfrak{h}^*]^W $ 通过微分算子 $ L_q $ 作用。
• 应用 $ \mathcal{O} $-范畴理论与 $ c $ 为一般值时 $ H_c $ 的单性，推导出 $ Q_m $ 是模 $ eM(0,\tau) $ 的直和，因此是 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 上的自由模。
• 通过证明任一非零双边理想必与 $ Q_m $ 相交，从而包含 1，来证明 $ \mathcal{D}(X_m) $ 的环是单的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可积系统（特别是量子 Calogero-Moser 系统）的背景下，拟不变量如何自然出现？
• RQ2 奇异概形 $ X_m $（即 $ m $-拟不变量环的谱）的几何与代数性质是什么？
• RQ3 有理谢雷德尼克代数 $ H_c $ 如何作用于环 $ Q_m $，这种作用诱导出何种结构？
• RQ4 为何 $ Q_m $ 是 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 上的自由模，且这如何由 $ eH_m e $ 的表示理论推出？
• RQ5 子代数 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}^*]^W $ 在 $ Q_m $ 的结构中起什么作用，它与微分算子有何关联？

主要发现

• 环 $ Q_m $ 是 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 上的有限生成代数，且是 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}] $ 上的有限模。
• 概形 $ X_m = \mathrm{Spec}(Q_m) $ 尽管奇异，但具有科恩-麦克aul伊与格伦斯坦性质。
• 微分算子环 $ \mathcal{D}(X_m) $ 是单的，因为任一非零双边理想必包含 1。
• $ Q_m $ 是 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 上的自由模，其基由不可约 $ W $-表示 $ \tau $ 对应的 $ eM(0,\tau) $ 模的直和分解给出。
• 存在唯一的 $ eH_m e $-代数作用在 $ Q_m $ 上，其扩展了 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W $ 的乘法作用与 $ \mathbb{C}[\mathfrak{h}^*]^W $ 的微分算子 $ L_q $ 作用。
• 当 $ W = \mathbb{Z}/2 $ 时，$ Q_m $ 分解为 $ \mathbb{C}[x^2] \oplus x^{2m+1}\mathbb{C}[x^2] $，同构于 $ eM(0,\mathbf{1}) \oplus eM(0,\varepsilon) $，从而确认了其自由性与分量的不可约性。