[论文解读] Les Variétés de Hecke-Hilbert aux points classiques de poids $1$

Adel Betina|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文利用伽罗瓦形变理论与p进上同调，研究了在经典权一Hilbert模形式处Hilbert特征值簇的局部几何。在Leopoldt条件与正则性条件下，证明了该特征值簇在这些点处光滑，计算了纤维的切空间维数，并构造了非经典过收敛特征形式，其傅里叶系数通过代数数的p进对数表达。

ABSTRACT

We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field $F$ is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficients in terms of $p$-adic logarithms of algebraic numbers. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations.

研究动机与目标

• 描述经典权一Hilbert模形式处Hilbert特征值簇的局部结构。
• 确定此类点处特征值簇的光滑性及其纤维的切空间维数。
• 构造非经典过收敛特征形式，并将其傅里叶系数与p进对数关联。
• 建立权映射在权一点处为étale的条件。
• 通过形变理论与类域论，将椭圆情形的结果推广至全实数域。

提出的方法

• 利用Mazur的伽罗瓦形变理论与伪形变研究特征值簇的局部几何。
• 应用类域论中的上同调工具分析特征值簇及其纤维的结构。
• 将p-稳定化的权一形式引入为特征值簇的拟平凡点集中的点。
• 利用p上方素点的分歧与分解数据，计算权映射纤维的切空间。
• 通过从特征值簇局部环到截断幂级数环的满射，构造过收敛特征形式。
• 在Leopoldt猜想成立的条件下，用代数整数的p进对数表达非经典形式的傅里叶系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Hilbert特征值簇在经典权一Hilbert模形式处光滑？
• RQ2 此类点处权映射纤维的切空间维数为何？
• RQ3 在何种条件下，权映射在经典权一点处为étale？
• RQ4 是否可在权一点构造非经典过收敛特征形式？其傅里叶系数如何刻画？
• RQ5 代数数的p进对数与权一过收敛Hilbert模形式的傅里叶系数有何关系？

主要发现

• 在关联二次扩张满足p-正则性与Leopoldt猜想的假设下，Hilbert特征值簇在经典权一Hilbert模形式处光滑。
• 此类点处权映射纤维的切空间维数等于 ∑_{p_i ∈ S_p} e_i f_i，其中 e_i 与 f_i 分别为p上方素点的分歧度与惯性度。
• 拟平凡点集的切空间维数为 max{1, ∑_{p_i ∈ S_p} e_i f_i}，反映了普通结构的存在。
• 当 S_p 非空时，存在从特征值簇局部环到 Q_p 上截断幂级数环的满射，从而导出2维的过收敛特征形式空间。
• 在这些形式中，存在一个非经典特征形式，其傅里叶系数可表示为代数数的p进对数。
• 该构造依赖于与theta级数相关的二次扩张 M 的Leopoldt猜想成立。