[论文解读] Lifts of Hilbert modular forms and application to modularity of abelian varieties

Clifton Cunningham, Lassina Dembélé|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过提升Hilbert模形式并证明相关伽罗华表示源自自守形式，建立了全实数域上阿贝尔簇的模性。利用基底扩张、模性提升定理及Serre猜想，证明了与阿贝尔簇相关的伽罗华表示是模的，从而得出该簇关联有Hilbert自守表示。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of certain lifts of Hilbert cusp forms to general odd spin groups. We then use those lifts to provide evidence for a conjecture of Gross on the modularity of abelian varieties not of ${ m GL}_2$-type.

研究动机与目标

• 通过伽罗华表示的自守提升，建立全实数域上阿贝尔簇的模性。
• 证明与阿贝尔簇相关的伽罗华表示源自Hilbert自守表示。
• 应用全实域上的模性提升定理及Serre猜想，推导出相关伽罗华表示的模性。
• 在Serre猜想成立的假设下，证明伽罗华表示的模λ约化之半单化是模的。
• 从与阿贝尔簇相关的Hilbert模形式出发，构造一个GSpin自守表示。

提出的方法

• 通过CM扩张的伽罗华群作用，实现伽罗华表示的基底扩张。
• 应用伽罗华表示的模λ约化之半单化，借助Serre猜想证明其为模的。
• 利用[kt16]中ℓ ≥ 3及[tho17]中ℓ = 2的模性提升定理，证明伽罗华表示的模性。
• 通过其伽罗华表示的模性，构造与阿贝尔簇A相关的Hilbert自守表示π。
• 应用提升定理（定理LABEL:thm:lifts），将π提升为GSpin_{2g+1}(𝔸_E)上的GSpin自守表示Π。
• 建立L函数的等式：L(B, s) = ∏ L(Π, s)，将阿贝尔簇的L函数与自守L函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明定义在全实域上的阿贝尔簇所关联的伽罗华表示是模的？
• RQ2 在何种条件下，与阿贝尔簇相关的伽罗华表示的模λ约化仍保持模性？
• RQ3 Hilbert模形式如何被提升为GSpin群上的自守表示？
• RQ4 Serre猜想在建立全实域上伽罗华表示的模性中起什么作用？
• RQ5 是否存在通过伽罗华表示提升，建立阿贝尔簇与自守表示之间对应关系？

主要发现

• 与阿贝尔簇A相关的伽罗华表示ρ_{A,λ}对所有素数λ均为模的。
• 由于全实域E上Serre猜想的成立，伽罗华表示的模λ约化āρ_{A,λ}^{ss}是模的。
• 当ℓ ≥ 3时，ρ_{A,λ}的模性由[kt16, 定理1.1]推出；当ℓ = 2时，由[tho17, 定理6.1]推出。
• 通过其伽罗华表示的模性，存在一个与阿贝尔簇A相关的Hilbert自守表示π。
• 存在一个在GSpin_{2g+1}(𝔸_E)上的GSpin自守表示Π，使得L(B, s) = ∏ L(Π, s)，将B的L函数与自守L函数联系起来。
• 该构造证实了阿贝尔簇B通过自守提升过程是模的。