[论文解读] Limits of permutation sequences

Carlos Hoppen, Yoshiharu Kohayakawa+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过引入一个自然的极限对象：一个满足累积分布与质量条件的 Lebesgue 可测函数 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $，建立了收敛排列序列的极限理论。关键结果是每个收敛的排列序列在此类函数中都有唯一的极限，且收敛性由子排列密度的收敛性所刻画。

ABSTRACT

A permutation sequence is said to be convergent if the density of occurrences of every fixed permutation in the elements of the sequence converges. We prove that such a convergent sequence has a natural limit object, namely a Lebesgue measurable function $Z:[0,1]^2 o [0,1]$ with the additional properties that, for every fixed $x \in [0,1]$, the restriction $Z(x,\cdot)$ is a cumulative distribution function and, for every $y \in [0,1]$, the restriction $Z(\cdot,y)$ satisfies a "mass" condition. This limit process is well-behaved: every function in the class of limit objects is a limit of some permutation sequence, and two of these functions are limits of the same sequence if and only if they are equal almost everywhere. An ingredient in the proofs is a new model of random permutations, which generalizes previous models and might be interesting for its own sake.

研究动机与目标

• 基于子排列密度极限，定义排列序列的收敛性概念。
• 识别此类收敛序列的规范极限对象，类似于图论中的图子（graphons）。
• 在收敛排列序列与特定可测函数类中的极限函数之间建立一一对应关系。
• 证明极限对象几乎处处唯一，且每个此类函数均为某个排列序列的极限。
• 提出一种新的随机排列模型，支持序列以几乎必然方式收敛至极限函数。

提出的方法

• 通过要求每个固定子排列 $ \tau $ 的密度在 $ n \to \infty $ 时收敛，来定义排列序列 $ (\sigma_n) $ 的收敛性。
• 将极限对象 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $ 定义为 Lebesgue 可测函数，其中对每个 $ x $，$ Z(x,\cdot) $ 是累积分布函数，且 $ Z(\cdot,y) $ 满足质量条件。
• 构造一个随机排列模型，其中 $ (X_n, Y_n) $ 是与 $ Z $ 相关的独立同分布的 $[0,1]^2$-值随机变量，且 $ \sigma_n $ 由给定有序 $ X_i $ 后 $ Y_i $ 的相对顺序定义。
• 利用 U-统计量的大数定律，证明子排列密度 $ t(\tau, \sigma_n) $ 几乎必然收敛至 $ t(\tau, Z) $。
• 利用 $ L_\infty $ 空间的完备性，证明在切范数 $ d_\square $ 下的收敛性等价于相关函数 $ Z_n $ 在 $ L_\infty $ 中的收敛性。
• 通过 $ t $-收敛与 $ \square $-范数拓扑，建立排列序列收敛性与其极限函数收敛性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 收敛排列序列的自然极限对象是什么，其类比于图论中的图子（graphons）？
• RQ2 如何用子排列密度来刻画排列序列的收敛性？
• RQ3 每个满足累积分布与质量条件的可测函数 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $ 是否都是某个排列序列的极限？
• RQ4 在何种条件下，两个极限函数代表同一个排列序列的极限？
• RQ5 能否构造一个随机排列模型，使得生成的序列以几乎必然方式收敛至给定的极限函数 $ Z $？

主要发现

• 每个收敛的排列序列都有唯一的极限对象 $ Z $，即一个 Lebesgue 可测函数 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $，使得对每个 $ x \in [0,1] $，$ Z(x,\cdot) $ 是累积分布函数，且 $ Z(\cdot,y) $ 满足质量条件。
• 极限对象 $ Z $ 几乎处处唯一：若两个序列分别收敛于 $ Z_1 $ 和 $ Z_2 $，则 $ Z_1 = Z_2 $ 几乎处处成立。
• 该类极限对象 $ \mathcal{Z} $ 中的每个函数 $ Z $ 都是某个排列序列的极限。
• 排列序列 $ (\sigma_n) $ 收敛于 $ Z $ 当且仅当相关函数 $ Z_n = Z_{\sigma_n} $ 在 $ L_\infty $-范数下收敛。
• 通过与 $ Z $ 相关的独立同分布 $[0,1]^2$-值变量 $ (X_i, Y_i) $ 定义的随机排列模型，生成的序列 $ (\sigma_n) $ 几乎必然收敛于 $ Z $。
• 序列 $ \sigma_n $ 收敛于 $ Z $ 当且仅当 $ Z_n \to Z $ 在 $ \square $-范数下收敛，且这等价于对所有固定的 $ \tau \in \mathcal{S} $，有 $ t(\tau, \sigma_n) \to t(\tau, Z) $。