[论文解读] Line bundles on perfectoid covers: case of good reduction

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|May 11, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 5

一句话总结

该论文证明了对于具有良好约化性的完美oid覆盖的刚性空间，其极限的Picard群可借助特殊纤维来描述，特别地，对于特征为 $p$ 的完美oid域上的超奇异概形，有 $\operatorname{Pic}(X^{\mathrm{perf}}) = \operatorname{Pic}(\overline{X})[\frac{1}{p}]$。该结果可推广至阿贝尔簇的pro-étale覆盖，并揭示了完美oid空间的Picard群并不总是 $p$-可除或离散的。

ABSTRACT

We study Picard groups and Picard functors of perfectoid spaces which are limits of rigid spaces. For sufficiently large covers that are limits of rigid spaces of good reduction, we show that the Picard functor can be represented by the special fibre. We use our results to answer several open questions about Picard groups of perfectoid spaces from the literature, for example we show that these are not always $p$-divisible. Along the way, we construct a "Hodge--Tate spectral sequence for $\mathbb G_m$" of independent interest.

研究动机与目标

• 理解在良好约化条件下，刚性空间的无限逆向极限的Picard群结构。
• 确定完美oid tilde-极限的拉回映射 $\varinjlim \operatorname{Pic}(X_i) \to \operatorname{Pic}(X_\infty)$ 的核与余核。
• 研究完美oid空间的Picard群是否总是 $p$-可除、无挠或离散。
• 为 $\mathcal{O}^\times$ 构造乘法的Hodge–Tate谱序列，并将其应用于一致化问题。
• 证明一个正规刚性空间的pro-有限-étale极限的Picard函子即使在特殊纤维为钻石时，也可能不是钻石。

提出的方法

• 使用钻石框架和pro-étale上同调分析完美oid极限上的线丛。
• 应用 $\mathcal{O}^\times$ 的乘法Hodge–Tate谱序列，将上同调数据与Picard群关联。
• 利用良好约化假设，通过特殊纤维将 $\operatorname{Pic}(X_\infty)$ 与 $\operatorname{Pic}(\overline{X}_i)$ 联系起来。
• 利用Raynaud一致化方法描述阿贝尔簇的pro-étale覆盖的Picard群。
• 通过Tate曲线及其完美oid覆盖构造显式例子，以展示非 $p$-可除性。
• 应用Cartan–Leray序列计算 $\operatorname{Pic}(X)$，其中 $X = A^{\mathrm{perf}}$ 且 $A$ 为Tate曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有良好约化性的光滑刚性空间的完美oid tilde-极限，拉回映射 $\varinjlim \operatorname{Pic}(X_i) \to \operatorname{Pic}(X_\infty)$ 的核与余核是什么？
• RQ2 对于特征为 $p$ 的完美oid域上的刚性空间 $X$，自然映射 $\operatorname{Pic}(X)[\frac{1}{p}] \to \operatorname{Pic}(X^{\mathrm{perf}})$ 是否为同构？
• RQ3 完美oid空间的Picard群是否总是 $p$-可除、$p$-无挠或离散？
• RQ4 一个正规刚性空间的pro-有限-étale极限的Picard函子是否仍为钻石？
• RQ5 对于完美oid空间，$\sharp$-映射 $\operatorname{Pic}(X^\flat) \to \operatorname{Pic}(X)$ 是否为双射？

主要发现

• 对于特征为 $p$ 的完美oid域上具有良好约化性的超奇异概形 $X$，有 $\operatorname{Pic}(X^{\mathrm{perf}}) = \operatorname{Pic}(\overline{X})[\frac{1}{p}]$，建立了完美oid覆盖的Picard群与特殊纤维之间的直接联系。
• Tate曲线 $A = \mathbb{G}_m / q^\mathbb{Z}$ 的完美oid覆盖 $X^{\mathrm{perf}}$ 的Picard群满足正合列 $0 \to q^{\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z}} \to K^\times / q^\mathbb{Z} \to \operatorname{Pic}(X) \to \mathbb{Z}[\frac{1}{p}] \to 0$，表明其既非 $p$-可除也非离散。
• $\sharp$-映射 $\operatorname{Pic}(X^\flat) \to \operatorname{Pic}(X)$ 一般不是双射；通过显式比较下降数据可知其具有非平凡的核与余核。
• 一个具有良好约化性的阿贝尔簇 $B$ 的pro-有限-étale极限的Picard函子 $\underline{\operatorname{Pic}}_{\widetilde{B}}$ 同构于 $\underline{\operatorname{Pic}}_{\overline{B}}^\diamondsuit[\frac{1}{p}]$，但该函子并非钻石，与tilting理论的预期相矛盾。
• 在特征 0 下，完美oid空间 $X$ 的Picard群不一定是 $p$-可除的，Tate曲线的完美oid覆盖的例子已证明这一点。
• 为 $\mathcal{O}^\times$ 构造的乘法Hodge–Tate谱序列使得能够在完美oid极限中控制线丛的上同调，为主要结果提供了关键技术工具。