[论文解读] Linear Programming Heuristics for the Graph Isomorphism Problem

Reza Takapoui, Stephen Boyd|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文提出了用于图同构问题（GIP）的随机线性规划（LP）启发式方法，通过松弛的LP公式化寻找将一个图映射到另一个图的置换矩阵。通过引入稀疏性约束并使用基于ADMM的求解器，该方法在结构化图上取得了高成功率，展示了在精确方法失效时的可扩展性和有效性。

ABSTRACT

An isomorphism between two graphs is a bijection between their vertices that preserves the edges. We consider the problem of determining whether two finite undirected weighted graphs are isomorphic, and finding an isomorphism relating them if the answer is positive. In this paper we introduce effective probabilistic linear programming (LP) heuristics to solve the graph isomorphism problem. We motivate our heuristics by showing guarantees under some conditions, and present numerical experiments that show effectiveness of these heuristics in the general case.

研究动机与目标

• 解决图同构问题（GIP）的计算挑战，尽管其在多项式时间可解性方面仍未解决，但其应用广泛。
• 开发实用且可扩展的GIP启发式方法，优于精确的整数规划方法，特别是在大规模或复杂图上。
• 通过在解矩阵上引入稀疏性约束，提高基于LP的同构检测成功率。
• 证明基于ADMM的算法能高效求解松弛LP问题，具有三次方时间复杂度。
• 通过实证验证，表明在多种图族中，稀疏性约束显著提升同构检测的准确性。

提出的方法

• 将图同构问题表述为带约束 $PA = \tilde{A}P$，$P\mathbf{1} = \mathbf{1}$，$P^T\mathbf{1} = \mathbf{1}$，且 $P_{ij} \in \{0,1\}$ 的布尔LP。
• 将布尔约束松弛为 $0 \leq P_{ij} \leq 1$，将问题转化为可在多项式时间内求解的标准线性规划（LP）。
• 引入稀疏性约束 $\mathcal{K}$，限制矩阵 $P$ 中非零项的数量，提高恢复置换矩阵的可能性。
• 使用交替方向乘子法（ADMM）高效求解约束LP，每轮迭代时间复杂度为 $O(n^3)$。
• 应用精炼步骤，使用匈牙利算法将近似解转换为有效置换矩阵（若可能）。
• 利用谱等价性（相同特征值）作为预过滤器，确保仅处理可能同构的图对。

实验结果

研究问题

• RQ1 图同构问题的线性规划松弛能否有效用作启发式方法以寻找同构？
• RQ2 在解矩阵 $P$ 上施加稀疏性约束如何提升恢复有效置换矩阵的成功率？
• RQ3 与内点法相比，所提出的基于ADMM的求解器在大规模图上的可扩展性如何？
• RQ4 在哪些图族中，LP松弛能产生接近置换矩阵的解，且稀疏性在何时帮助最大？
• RQ5 在某些结构条件下，LP松弛是否足够紧，能够精确求解GIP？

主要发现

• 在作者假设下，所有测试图的LP松弛（2）均可行，表明该方法适用于多种图族。
• 在随机Erdos-Renyi图（R1N）上，即使在 $n = 1000$ 个顶点时，无稀疏性约束下成功率也达100%。
• 在立方体Hypo-Hamiltonian图（CHH）上，稀疏性约束使成功率从30%提升至平均82%，在 $n = 550$ 时提升最大。
• 在仿射几何图（AG2）上，稀疏性约束使成功率从0%提升至 $n \leq 21$ 时的100%，但对更大 $n$ 时性能下降。
• 基于ADMM的求解器在图大小上的对数运行时间呈线性增长，每轮迭代成本为 $O(n^3)$，相比ECOS等内点法具有显著更好的可扩展性。
• 在Kronecker Eye Flip（KEF）和MZA图上，稀疏性约束显著提升成功率，KEF在 $n = 128$ 及以上时达到100%成功率，MZA在较小尺寸下也表现出更好的恢复能力。