[论文解读] Local controllability of 1D Schrödinger equations with bilinear control and minimal time

Karine Beauchard, Morgan Morancey|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文为一维薛定谔方程的双线性控制建立了通用框架，证明了只有当时间超过一个正的最小阈值时，才可能实现局部可控性。该最小时间来源于解的幂级数展开中二阶项的行为，作者确定了在何种条件下，对于任意小的时间，可控性都会失败，从而将先前关于退化情形下最小时间要求的结果进行了推广。

ABSTRACT

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded interval, with bilinear control. Beauchard and Laurent proved that, under an appropriate non degeneracy assumption, this system is controllable, locally around the ground state, in arbitrary time. Coron proved that a positive minimal time is required for this controllability, on a particular degenerate example. In this article, we propose a general context for the local controllability to hold in large time, but not in small time. The existence of a positive minimal time is closely related to the behaviour of the second order term, in the power series expansion of the solution.

研究动机与目标

• 确定关于偶极矩 $\mu$ 的一般条件，使得一维薛定谔方程在双线性控制下对任意小时间均无法实现局部可控性。
• 刻画局部可控性存在正的最小时间的条件，推广先前关于退化情形的结果。
• 将最小时间要求与解的幂级数展开中二阶项的行为联系起来。
• 建立一个框架，使得在长时间下可控性成立，但在短时间下不成立，该框架基于 $\mu$ 的谱性质和正则性。

提出的方法

• 分析薛定谔方程解的幂级数展开，重点关注二阶项以确定最小时间约束。
• 在 $\mu$ 的非退化假设下，使用线性检验和隐函数定理，在长时间下建立可控性。
• 应用 Ingham 不等式和紧致性论证，表明若二阶项消失，则除非控制为零，否则将导致矛盾。
• 运用矩问题和谱分析，证明最小时间阈值源于与系统动力学相关的算子 $K$ 的结构。
• 引入泛函 $\mathcal{Q}_T(S)$ 以量化可控性，并使用变分方法分析其在控制函数上的上确界。
• 使用算子 $L_T$ 将控制投影到特征函数张成的空间上，从而实现对 $L^2$-范数和扰动界的有效估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种偶极矩 $\mu$ 条件下，一维薛定谔方程在双线性控制下对任意小时间均无法实现局部可控性？
• RQ2 可控性的最小时间与解的幂级数展开中二阶项的行为有何关联？
• RQ3 能否建立一个通用框架，以区分那些需要正的最小时间的系统与那些可在任意时间内可控的系统？
• RQ4 $\mu$ 在边界处的谱行为在决定可控性的最小时间中起什么作用？
• RQ5 $\langle \mu \varphi_1, \varphi_k \rangle$ 的正则性和衰减性质如何影响最小时间的存在性？

主要发现

• 当解的幂级数展开中二阶项不消失时，需要一个正的最小时间才能实现局部可控性，这在某些 $\mu$ 下是普遍现象。
• 最小时间阈值与泛函 $\mathcal{Q}_T(S)$ 的非零性相关，该泛函在给定假设下对小的 $T$ 被证明为负。
• 对于 $T < \tilde{T}_{\text{min}}^1$，泛函 $\mathcal{Q}_T(S)$ 被统一有界于一个负常数之下，意味着在小时间下可控性失败。
• 证明表明，假设 $\lambda(T) = 0$ 会导致通过迭代微分和紧致性产生矛盾，从而迫使控制为零。
• 最小时间阈值取决于 $\mu$ 的谱性质，特别是当 $k \to \infty$ 时 $|\langle \mu \varphi_1, \varphi_k \rangle|$ 的衰减速率。
• 该框架推广了先前结果，例如 Coron 的例子 $\mu(x) = x - 1/2$，并为最小时间的存在性提供了统一条件。