[论文解读] Local existence and uniqueness of heat conductive compressible Navier-Stokes equations in the presence of vacuum and without initial compatibility conditions

Jinkai Li, Yasi Zheng|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 40被引用 4

一句话总结

该论文在三维空间中建立了热传导可压缩纳维-斯托克斯方程强解的局部存在性与唯一性，允许真空存在且无需初始相容性条件。作者提出了一种新颖的两阶段论证方法，结合时间加权能量估计与时间奇异型格朗沃尔不等式，以克服缺乏正则性与相容性约束的问题。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the initial-boundary value problem to the heat conductive compressible Navier-Stokes equations. Local existence and uniqueness of strong solutions is established with any such initial data that the initial density $ρ_0$, velocity $u_0$, and temperature $θ_0$ satisfy $ρ_0\in W^{1,q}$, with $q\in(3,6)$, $u_0\in H^1$, and $\sqrt{ρ_0}θ_0\in L^2$. The initial density is assumed to be only nonnegative and thus the initial vacuum is allowed. In addition to the necessary regularity assumptions, we do not require any initial compatibility conditions such as those proposed in (Y. Cho and H. Kim, \emph{Existence results for viscous polytropic fluids with vacuum}, J. Differential Equations {\bf 228} (2006), no.~2, 377--411.), which although are widely used in many previous works but put some inconvenient constraints on the initial data. Due to the weaker regularities of the initial data and the absence of the initial compatibility conditions, leading to weaker regularities of the solutions compared with those in the previous works, the uniqueness of solutions obtained in the current paper does not follow from the arguments used in the existing literatures. Our proof of the uniqueness of solutions is based on the following new idea of two-stages argument: (i) showing that the difference of two solutions (or part of their components) with the same initial data is controlled by some power function of the time variable; (ii) carrying out some singular-in-time weighted energy differential inequalities fulfilling the structure of the Grönwall inequality. The existence is established in the Euler coordinates, while the uniqueness is proved in the Lagrangian coordinates first and then transformed back to the Euler coordinates.

研究动机与目标

• 建立在存在真空条件下，热传导可压缩纳维-斯托克斯方程强解的局部存在性与唯一性。
• 消除先前研究中对初始数据施加的初始相容性条件的依赖。
• 处理最低正则性要求的初始数据：$\rho_0 \in W^{1,q}$（$q \in (3,6)$），$u_0 \in H^1$，且$\sqrt{\rho_0}\theta_0 \in L^2$，其中$\rho_0 \geq 0$ 允许真空存在。
• 提出一种适用于低正则性解且无相容性假设的新唯一性证明策略。

提出的方法

• 在欧拉坐标系中利用标准能量估计与索博列夫嵌入定理证明存在性。
• 通过将系统变换至固定区域并在拉格朗日坐标系中分析两个解的差值，证明唯一性。
• 引入两阶段论证：第一阶段，以时间的幂次有界解的差值；第二阶段，应用时间奇异型加权能量不等式。
• 使用带时间奇异权重的格朗沃尔型不等式，以控制解差值的增长。
• 利用拉格朗日坐标系中纳维-斯托克斯方程的结构，包括雅可比行列式及速度场与温度场的变换关系。
• 应用一个关键引理：变形梯度的伴随矩阵的散度为零，从而在变换后的系统中保持结构恒等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在真空且无初始相容性条件的情况下，可压缩纳维-斯托克斯方程的局部强解是否仍可存在？
• RQ2 当解缺乏先前研究中假设的正则性与相容性条件时，如何建立唯一性？
• RQ3 在最小正则性假设下，需要何种新颖的分析技术来控制解的差值？
• RQ4 是否可采用带时间奇异权重的两阶段能量估计策略，替代标准格朗沃尔论证方法用于唯一性证明？
• RQ5 在弱假设下，向拉格朗日坐标系的变换如何促进唯一性证明？

主要发现

• 对于满足$\rho_0 \in W^{1,q}$（$q \in (3,6)$）、$u_0 \in H^1$、$\sqrt{\rho_0}\theta_0 \in L^2$ 的初始数据，无需初始相容性条件，强解的局部存在性得以建立。
• 在不假设先前工作中常用的初始相容性条件（如Cho与Kim，2006年所用条件）的前提下，证明了解的唯一性。
• 在给定正则性假设下，两个具有相同初始数据的解之间的差值被证明以时间的幂次有界，具体为$O(|t - t_0|^{3/4})$。
• 唯一性证明依赖于一种新颖的两阶段论证：第一阶段，通过时间幂次实现对解差值的逐点控制；第二阶段，应用类似格朗沃尔不等式的奇异时间加权能量不等式。
• 从欧拉坐标系到拉格朗日坐标系的变换对于唯一性证明至关重要，随后还需通过反变换返回欧拉坐标系。
• 证明了一个关键结构引理：变形梯度伴随矩阵的散度为零，这对在拉格朗日形式下保持系统结构至关重要。