[论文解读] Local Langlands correspondence for Asai L-functions and epsilon factors

Daniel Shankman|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文建立了当 E/F 为 p-进局部域的二次扩张时，GLₙ(E) 的不可约、非奇异表示的 Asai L 函数与 ϵ 因子之间的相等性。通过 Langlands-Shahidi 方法及某些函数的统一光滑性，证明了 γ 因子相等性蕴含 Asai 表示的完整局部 Langlands 对应，从而完成了该情形下的猜想对应。

ABSTRACT

Let E/F be a quadratic extension of p-adic fields. The local Langlands correspondence establishes a bijection between n-dimensional Frobenius semisimple representations of the Weil-Deligne group of E and smooth, irreducible representations of GL(n,E). We reinterpret this bijection in the setting of the Weil restriction of scalars Res(GL(n),E/F), and show that the Asai L-function and epsilon factor on the analytic side match up with the expected Artin L-function and epsilon factor on the Galois side. This paper is based off of the author's forthcoming doctoral thesis.

研究动机与目标

• 建立 p-进情形下 Asai L 函数与 ϵ 因子的局部 Langlands 对应。
• 证明 GLₙ(E) 的表示 π 的 Asai L 函数与 ϵ 因子，与其对应的伽罗瓦表示在 Asai 表示下的结果相等。
• 表明在 p-进设定下，γ 因子相等性蕴含 L 函数与 ϵ 因子相等性。
• 通过 Langlands-Shahidi 方法，完成对 Weil-限制群 Res_{E/F}GLₙ 上 Asai 表示的猜想局部 Langlands 对应。
• 将已知的阿基米德与 GLₙ 情形结果推广至 Weil-限制群上的 Asai 表示。

提出的方法

• 使用 Langlands-Shahidi 方法，为 GLₙ(E) 的表示定义 Asai L 函数与 ϵ 因子。
• 应用标量限制，将 Res_{E/F}GLₙ 的 L-群识别为 Gal(E/F) 与 GL(V)×GL(V) 的半直积。
• 通过 R(T,S) = T⊗S 与 R(σ)(v⊗v′) = v′⊗v 构造 Asai 表示 R: ⁱLℳ → GL(V⊗V)。
• 依赖于 GLₙ 的已知局部 Langlands 对应，以及该对应在 Weil 限制下的相容性。
• 利用矩阵系数的统一光滑性，证明当特征 η 高度扭结时，某些积分消失。
• 采用基变换论证，并利用 γ 因子相等性（模单位根）蕴含 L 因子相等性的事实，推导出主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p-进设定下，Asai L 函数与 ϵ 因子的局部 Langlands 对应是否成立？
• RQ2 Asai 表示的 γ 因子相等性能否用于推导出 L 函数与 ϵ 因子的相等性？
• RQ3 GLₙ(E) 的表示 π 的 Asai L 函数是否等于其关联伽罗瓦表示在 Asai 表示下扭曲的 L 函数？
• RQ4 GLₙ 的局部 Langlands 对应是否可通过 Asai 表示扩展至 Weil-限制群 Res_{E/F}GLₙ？
• RQ5 涉及矩阵系数与扭结特征的某些积分的消失性，能否用于证明 L 因子相等性？

主要发现

• 对任意 GLₙ(E) 的不可约、非奇异表示 π，有 Asai L 函数 L(s,π,ℛ) = L(s,ℛ∘ρ)，其中 ρ 为对应的伽罗瓦表示。
• ϵ 因子 ε(s,π,ℛ,ψ) = ε(s,ℛ∘ρ,ψ)，确认了 Asai 表示的猜想局部 Langlands 对应。
• 在 p-进情形下，γ 因子相等性 γ(s,π,ℛ,ψ) = γ(s,ℛ∘ρ,ψ) 蕴含 L 函数与 ϵ 因子相等性。
• 证明依赖于当特征 η 足够高度扭结时，某些子群上积分消失的结论。
• 通过变量替换与光滑性性质，建立了全局 zeta 积分差值 C_χ(s,π₁η)⁻¹ − C_χ(s,π₂η)⁻¹ = 0 的消失性。
• 该结果完成了 p-进情形下 Res_{E/F}GLₙ 上 Asai 表示的局部 Langlands 对应，建立在 GLₙ 与阿基米德群的先前结果之上。