[论文解读] Local Models For The Moduli Stacks of Global $G$-Shtukas

Esmail Arasteh Rad, Somayeh Habibi|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文通过两种方法构建了全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆的局部模型——函数域中对 Shimura 岛的类比——一种利用全局有界性条件与全局仿射格拉斯曼ian中的施伯特簇，另一种通过形变理论将全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡与特征点处的局部 ${\mathbb{P}}$-希图卡联系起来。关键结果是证明了对驯服分支的 ${\mathfrak{G}}$，其模堆在反射环上是平坦的，同时引入了科特维茨-拉波波尔特分层，并分析了特殊纤维上的交集上同调。

ABSTRACT

In this article we develop the theory of local models for the moduli stacks of global $G$-shtukas, the function field analogs for Shimura varieties. Here $G$ is a smooth affine group scheme over a smooth projective curve. As the first approach, we relate the local geometry of these moduli stacks to the geometry of Schubert varieties inside global affine Grassmannian, only by means of global methods. Alternatively, our second approach uses the relation between the deformation theory of global $G$-shtukas and associated local $P$-shtukas at certain characteristic places. Regarding the analogy between function fields and number fields, the first (resp. second) approach corresponds to the Beilinson-Drinfeld-Gaitsgory (resp. Rapoport-Zink) local model for (PEL-)Shimura varieties. As an application, we prove the flatness of these moduli stacks over their reflex rings, for tamely ramified group $G$. Furthermore, we introduce the Kottwitz-Rapoport stratification on these moduli stacks and discuss the intersection cohomology of the special fiber.

研究动机与目标

• 通过全局仿射格拉斯曼ian的闭子概形，建立全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆的有界性条件的全局理论。
• 通过将形变理论与特征点处的局部 ${\mathbb{P}}$-希图卡联系起来，发展全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的局部模型理论。
• 证明对驯服分支的 ${\mathfrak{G}}$，其模堆在反射环上是平坦的，扩展函数域朗兰兹程序中的结果。
• 在全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆上引入并研究科特维茨-拉波波尔特分层。
• 通过统一化与 Bott-Samelson 修正，分析这些模堆特殊纤维的交集上同调。

提出的方法

• 将全局有界性条件 ${\cal{Z}}$ 定义为全局仿射格拉斯曼ian中闭子概形的等价类，推广了权重界限的概念。
• 利用全局仿射格拉斯曼ian内施伯特簇的全局几何，将模堆的局部结构与全局不变量联系起来。
• 应用形变理论，将全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡与在固定特征点 $\nu_i$ 处的关联局部 ${\mathbb{P}}$-希图卡联系起来，实现类似 Rapoport-Zink 的局部模型构造。
• 构造一个从 Rapoport-Zink 空间积到模堆的统一化态射 $\Theta$，诱导出局部模型图。
• 利用仿射施伯特簇的 Bott-Samelson-Demazure 修正来分析特殊纤维的交集上同调。
• 利用分解定理与射影齐次概形的胞腔结构，推导模堆上 IC-层的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆的全局有界性概念，使其推广经典权重界限方法？
• RQ2 模堆的局部几何在多大程度上源于全局仿射格拉斯曼ian中的施伯特簇？
• RQ3 是否可利用全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的形变理论，构建类似 Rapoport-Zink 对 Shimura 岛的局部模型？
• RQ4 全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆的特殊纤维具有何种结构？科特维茨-拉波波尔特分层如何细化其几何？
• RQ5 通过统一化态射，模堆上的交集上同调层如何与仿射施伯特簇积上的交集上同调层相关联？

主要发现

• 对驯服分支的 ${\mathfrak{G}}$，模堆 $\nabla_{n}^{\cal{Z}}{\mathscr{H}}_{D}^{1}(C,{\mathfrak{G}})$ 在其反射环上是平坦的，确立了关键的有限性性质。
• 在全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆上引入了科特维茨-拉波波尔特分层，其细化了由牛顿多边形定义的分层。
• 通过统一化态射与分解定理，计算了特殊纤维的交集上同调，IC-层可从施伯特簇的积上拉回。
• 模堆上的 IC-层通过局部模型图与施伯特簇积上的 IC-层同构，仅相差一个平移与扭量。
• 局部模型图诱导出从 Rapoport-Zink 空间积到 $\prod_i \widehat{Z}_{\nu_i}$ 的态射，实现了广义朗兰兹对应。
• 每个 $\cal{S}(\omega_i)$ 的 Bott-Samelson-Demazure 修正提供了胞腔结构，支持分解定理并促进 IC-层的计算。