[论文解读] Localization of Floer homology of engulfable topological Hamiltonian loop

Yong‐Geun Oh|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了辛流形中可吞噬的拓扑哈密顿环路的弗洛尔同调的局部化，证明在 $C^0$-小条件下，局部与全局拉格朗日子 invariant 一致。通过将厚-薄分解与把手滑动引理推广至 $C^0$-正则路径，作者证明了在可吞噬同伦下谱 invariant 是同伦不变的，将先前针对 $C^2$-小结果推广至拓扑设定。

ABSTRACT

Localization of Floer homology is first introduced by Floer \cite{floer:fixed} in the context of Hamiltonian Floer homology. The author employed the notion in the Lagrangian context for the pair $(ϕ_H^1(L),L)$ of compact Lagrangian submanifolds in tame symplectic manifolds $(M,ω)$ in \cite{oh:newton,oh:imrn} for a compact Lagrangian submanifold $L$ and $C^2$-small Hamiltonian $H$. In this article, motivated by the study of topological Hamiltonian dynamics, we extend the localization process for any engulfable Hamiltonian path $ϕ_H$ whose time-one map $ϕ_H^1$ is sufficiently $C^0$-close to the identity (and also to the case of triangle product), and prove that the value of local Lagrangian spectral invariant is the same as that of global one. Such a Hamiltonian path naturally occurs as an approximating sequence of engulfable topological Hamiltonian loop. We also apply this localization to the graphs $\Graph ϕ_H^t$ in $(M imes M, ω\oplus -ω)$ and localize the Hamiltonian Floer complex of such a Hamiltonian $H$. We expect that this study will play an important role in the study of homotopy invariance of the spectral invariants of topological Hamiltonian.

研究动机与目标

• 将拉格朗日子弗洛尔同调的局部化从 $C^2$-小哈密顿量扩展至 $C^0$-小、可吞噬的拓扑哈密顿环路。
• 在 $C^0$-拓扑下建立弗洛尔轨迹的厚-薄分解，克服在 $C^0$-设定下基于面积的二分法失效的问题。
• 证明对于此类路径，局部与全局拉格朗日子谱 invariant 相等，从而在拓扑哈密顿动力系统中实现同伦不变性。
• 将局部化应用于 $M \times M$ 中的图像与三角形乘积，建立局部与全局哈密顿弗洛尔同调之间的联系。
• 通过 $C^0$-逼近环路，为谱 invariant 在拓扑哈密顿范畴中的同伦不变性提供基础。

提出的方法

• 引入弗洛尔轨迹的 $C^0$-版本厚-薄分解，以可吞噬性与对恒等映射的 $C^0$-接近性替代 $C^2$-小性。
• 将把手滑动引理应用于 $C^0$-逼近环路，证明弗洛尔轨迹可在邻域内形变而不改变同调。
• 利用 $J_0$-凸区域与最大值原理，控制局部复结构中全纯曲线的行为。
• 通过重参数化映射 $v = u_0 \# \overline{u}_1$，在 $\Delta \subset M \times M$ 上的局部哈密顿弗洛尔复形与在 $\text{Graph}(\phi_G^1)$ 上的复形之间构造一个典范同构。
• 通过一参数族 $G^s$ 关联不同的哈密顿量 $G$ 与 $G'$，证明其弗洛尔复形是保持滤子的同构。
• 采用绝热极限技术，控制 $C^0$-形变下弗洛尔轨迹的收敛性，即使极限退化亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉格朗日子弗洛尔同调的局部化能否从 $C^2$-小扩展至 $C^0$-小哈密顿路径？
• RQ2 当 $C^2$-小性不成立时，$C^0$-拓扑下弗洛尔轨迹的厚-薄分解是否仍然成立？
• RQ3 对于 $C^0$-小、可吞噬的哈密顿环路，局部与全局拉格朗日子谱 invariant 是否相等？
• RQ4 哈密顿弗洛尔同调中的三角形乘积能否在 $M \times M$ 中对角邻域内实现局部化？
• RQ5 拓扑哈密顿环路的谱 invariant 是否在可吞噬路径的 $C^0$-同伦下保持不变？

主要发现

• 对于任意与恒等映射 $C^0$-接近的可吞噬哈密顿路径 $\phi_H$，局部拉格朗日子谱 invariant $\rho^{\text{lag}}(H;1)$ 等于全局谱 invariant。
• 通过可吞噬性与 $J_0$-凸性，在 $C^0$-设定下存在弗洛尔轨迹的厚-薄分解，即使缺乏 $C^2$-小性亦成立。
• 把手滑动引理对 $C^0$-逼近环路成立，允许在邻域内形变弗洛尔轨迹。
• 局部弗洛尔同调 $HF_*^{[\text{id}]}((L,L),H;U)$ 同构于 $H_*(L;\mathbb{Z}_2)$，将 $C^2$-小结果推广至 $C^0$-设定。
• 在 $\Delta \subset M \times M$ 上的哈密顿弗洛尔复形与在 $\text{Graph}(\phi_G^1)$ 上的局部复形之间存在通过模空间微分同胚的典范同构。
• 哈密顿量 $G$ 与 $G'$ 的谱 invariant 相等，且其在弗洛尔同调上诱导的映射是保持滤子的同构，从而证明了同伦不变性。