[论文解读] Localized mirror functor constructed from a Lagrangian torus

Cheol‐Hyun Cho, Hansol Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 5

一句话总结

该论文从辛流形 $X$ 的Fukaya范畴构造了一个到全纯Landau-Ginzburg超势能 $W$ 的矩阵因子化范畴的典范 $A_{u}$-函子，其中 $W$ 由 $X$ 中一个弱非受阻的拉格朗日子环面导出。该构造使用带有平坦 $ frac{\mathbb{C}^\times}{\text{}}$-联络的拉格朗日子弗理论，通过一致的规范选择确保矩阵因子化在规范下不变，并为toric Fano流形及 $\mathbb{CP}^n$ 的实余维空间提供了显式镜像构造。

ABSTRACT

Fixing a weakly unobstructed Lagrangian torus in a symplectic manifold X, we define a holomorphic function W known as the Floer potential. We construct a canonical A-infinity functor from the Fukaya category of X to the category of matrix factorizations of W. It provides a unified way to construct matrix factorizations from Lagrangian Floer theory. The technique is applied to toric Fano manifolds to transform Lagrangian branes to matrix factorizations. Using the method, we also obtain an explicit expression of the matrix factorization mirror to the real locus of the complex projective space.

研究动机与目标

• 为非Calabi-Yau镜像对称性提供一种统一且可计算的、从拉格朗日子弗理论构造矩阵因子化的方法。
• 解决在拉格朗日子环面上平坦 $\mathbb{C}^\times$-联络中的规范依赖性问题，确保矩阵因子化定义良好且取值于洛朗级数。
• 将先前的浸入拉格朗日子弗理论推广至光滑拉格朗日子环面的情形，使在toric Fano情形下能够实现显式镜像构造。
• 在拉格朗日子环面纤维附近构造一个家族Floer函子的局部版本，当不存在奇点纤维时可实现粘合。
• 显式计算复射影空间 $\mathbb{CP}^n$ 实余维空间的镜像超势能与矩阵因子化。

提出的方法

• 将Floer势能 $W$ 定义为拉格朗日子环面与平坦 $\mathbb{C}^\times$-联络的 $A_\infty$ 代数 $\mathrm{CF}^*((\mathbb{L},\nabla),(\mathbb{L},\nabla))$ 的 $m_0$-项，通过计数Maslov指数为二的全纯盘（相对于平坦 $\mathbb{C}^\times$-联络）。
• 利用参考子环面 $(\mathbb{L},\nabla)$ 与任意弱非受阻拉格朗日子 $L_1$ 之间的拉格朗日子弗理论，构造一个微分满足 $d^2 = W - \lambda$ 的链复形，其中 $\lambda = m_0^{L_1}$。
• 对平坦 $\mathbb{C}^\times$-联络实施一致的规范选择，将holonomy限制在超子环面邻域之外为平凡，以确保矩阵因子化在洛朗多项式环上定义。
• 通过将每个拉格朗日子 $L_1$ 映射到由Floer复形 $\mathrm{CF}^*((\mathbb{L},\nabla), L_1)$ 生成的矩阵因子化，构造 $A_\infty$-函子，其微分满足 $d^2 = W - \lambda$。
• 将该方法应用于toric Fano流形，表明由于无奇点纤维，局部镜像函子可全局粘合。
• 采用全纯盘与流线模空间方向理论的符号约定，以确保矩阵因子化结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用光滑拉格朗日子环面作为参考，从Fukaya范畴构造一个到矩阵因子化的典范 $A_\infty$-函子？
• RQ2 平坦 $\mathbb{C}^\times$-联络在定义良好行为的镜像超势能 $W$ 及确保规范不变矩阵因子化中起什么作用？
• RQ3 平坦联络规范的选择如何影响所得矩阵因子化？如何选择一致的规范以保持洛朗级数结构？
• RQ4 使用该构造时，$\mathbb{CP}^n$ 实余维空间的矩阵因子化镜像的显式形式是什么？
• RQ5 在toric Fano流形中，能否将拉格朗日子环面纤维附近的局部镜像函子扩展为全局镜像函子？

主要发现

• Floer势能 $W$ 被构造为带有平坦 $\mathbb{C}^\times$-联络的拉格朗日子环面的 $A_\infty$ 代数的 $m_0$-项，其为 $(\mathbb{C}^\times)^n$ 上的全纯函数。
• $(\mathbb{L},\nabla)$ 与任意 $L_1$ 之间的拉格朗日子弗复形构成 $W$ 的矩阵因子化，满足 $d^2 = W - \lambda$，其中 $\lambda = m_0^{L_1}$。
• 通过在固定超子环面外将holonomy设为平凡的一致规范选择，确保所得矩阵因子化在洛朗多项式环上定义。
• 该方法生成了 $\mathbb{CP}^n$ 实余维空间的显式矩阵因子化镜像，其系数包含 $z_i - \underline{z}_i$ 项，符号由方向数据决定。
• 通过模空间方向理论解决了pearl复形中的符号计算，表明微分符号与矩阵因子化中预期的 $s_{i,j}$-因子一致。
• 在toric Fano流形中，由于无奇点纤维，各拉格朗日子环面纤维附近的局部镜像函子可被粘合为全局镜像函子。