[论文解读] Locally-Iterative Distributed (Delta + 1)-Coloring below Szegedy-Vishwanathan Barrier, and Applications to Self-Stabilization and to Restricted-Bandwidth Models

Leonid Barenboim, Michael Elkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Distributed systems and fault tolerance参考文献 57被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在 $O(\Delta + \log^* n)$ 轮内运行的局部迭代 $(\Delta+1)$-染色算法，打破了长期以来由 Szegedy-Vishwanathan 建立的 $\Omega(\Delta\log\Delta + \log^* n)$ 下界。通过引入一种新颖的三维颜色聚合技术以及基于阶段的细化过程，该方法在分布式环境中实现了更快的收敛速度，从而支持更高效的自稳定、带宽受限及动态算法。

ABSTRACT

We consider graph coloring and related problems in the distributed message-passing model. {Locally-iterative algorithms} are especially important in this setting. These are algorithms in which each vertex decides about its next color only as a function of the current colors in its 1-hop neighborhood. In STOC'93 Szegedy and Vishwanathan showed that any locally-iterative (Delta+1)-coloring algorithm requires Omega(Delta log Delta + log^* n) rounds, unless there is "a very special type of coloring that can be very efficiently reduced" \cite{SV93}. In this paper we obtain this special type of coloring. Specifically, we devise a locally-iterative (Delta+1)-coloring algorithm with running time O(Delta + log^* n), i.e., {below} Szegedy-Vishwanathan barrier. This demonstrates that this barrier is not an inherent limitation for locally-iterative algorithms. As a result, we also achieve significant improvements for dynamic, self-stabilizing and bandwidth-restricted settings: - We obtain self-stabilizing distributed algorithms for (Delta+1)-vertex-coloring, (2Delta-1)-edge-coloring, maximal independent set and maximal matching with O(Delta+log^* n) time. This significantly improves previously-known results that have O(n) or larger running times \cite{GK10}. - We devise a (2Delta-1)-edge-coloring algorithm in the CONGEST model with O(Delta + log^* n) time and in the Bit-Round model with O(Delta + log n) time. Previously-known algorithms had superlinear dependency on Delta for (2Delta-1)-edge-coloring in these models. - We obtain an arbdefective coloring algorithm with running time O(\sqrt Delta + log^* n). We employ it in order to compute proper colorings that improve the recent state-of-the-art bounds of Barenboim from PODC'15 \cite{B15} and Fraigniaud et al. from FOCS'16 \cite{FHK16} by polylogarithmic factors. - Our algorithms are applicable to the SET-LOCAL model of \cite{HKMS15}.

研究动机与目标

• 克服 Szegedy 和 Vishwanathan 建立的关于局部迭代 $(\Delta+1)$-染色的 $\Omega(\Delta\log\Delta + \log^* n)$ 下界。
• 设计一种可在该下界以下实现 $(\Delta+1)$-染色的局部迭代算法，证明该下界并非固有局限。
• 通过新染色方法的引入，实现更高效的自稳定、动态和带宽受限的分布式算法。
• 将适用范围扩展至 SET-LOCAL 模型，此前在该模型中高效算法的种类极为有限。

提出的方法

• 引入一种三维颜色聚合（3AG）机制，其中每个顶点维护一个三元组 $\langle c_v, b_v, a_v \rangle$ 来编码颜色信息并解决冲突。
• 采用基于阶段的细化过程：顶点在 $O(\Delta)$ 轮内迭代地确定其 $b$-值和 $a$-值，确保最终染色无冲突。
• 在 3AG 算法中采用两阶段策略：首先在 $3\Delta+1$ 轮内稳定 $b$-值，随后在 $2\Delta+1$ 轮内确定 $a$-值。
• 通过使用 $p$-色调色板（$p \geq (1+\epsilon)\Delta$）的色值缩减技术，实现 $O(\frac{1}{\epsilon} \cdot p)$ 轮内收敛至合法 $p$-染色。
• 利用 arbdefective 染色作为子程序，在 $O(\sqrt{\Delta} + \log^* n)$ 时间内计算出 $(1+\epsilon)\Delta$-染色。
• 将算法适配至 SET-LOCAL 模型，首次在该受限模型中实现线性于 $\Delta$ 的 $(\Delta+1)$-染色。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种局部迭代的 $(\Delta+1)$-染色算法，能够在 $o(\Delta\log\Delta)$ 时间内完成，从而打破 Szegedy-Vishwanathan 下界？
• RQ2 是否存在一种构造性方法，可绕过对‘特殊染色’的依赖，从而避免使该下界变得紧致？
• RQ3 新算法能否被适配至自稳定、动态及低带宽的分布式模型中，并实现更高的效率？
• RQ4 该算法能否被扩展至 SET-LOCAL 模型，而此前仅有少数已知算法可在该模型中运行？

主要发现

• 本文通过局部迭代算法在 $O(\Delta + \log^* n)$ 轮内实现了 $(\Delta+1)$-染色，打破了 $\Omega(\Delta\log\Delta + \log^* n)$ 的下界。
• 自稳定算法在 $(\Delta+1)$-顶点染色、$(2\Delta-1)$-边染色、最大独立集和最大匹配问题上，均实现了 $O(\Delta + \log^* n)$ 时间复杂度，优于以往的 $O(n)$ 上界。
• 在 CONGEST 模型中，$(2\Delta-1)$-边染色在 $O(\Delta + \log^* n)$ 时间内完成，其中 $\log^* n$ 项不可避免。
• 在 Bit-Round 模型中，$O\left(\Delta\right)$-边染色在 $O(\Delta + \log n)$ 时间内完成，其中 $\log n$ 项不可避免。
• arbdefective 染色在 $O(\sqrt{\Delta} + \log^* n)$ 时间内完成，从而在相同时间界内实现合法的 $(1+\epsilon)\Delta$-染色。
• 首次证明了线性于 $\Delta$ 的 $(\Delta+1)$-染色算法可在 SET-LOCAL 模型中运行，突破了该模型中已知的 $\Omega(\Delta^{1/3})$ 下界。